14.47. Se , determine o vetor gradiente e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função no ponto . Esboce as curvas de nível, reta tangente e vetor gradiente.

O primeiro passo será calcular as derivadas parciais para se obter o vetor gradiente. Começando com a derivada em

Calculando a derivada em

Com isso obtemos o vetor gradiente

Substituindo no vetor gradiente o ponto solicitado pela questão, temos

Para calcular o vetor tangente, basta resolver a equação

Em que e são variáveis a serem encontradas. Essas variáveis representam os coeficientes que nos dão a direção e sentido do vetor tangente. Como é um vetor que tem como sua origem o ponto , os valores dessas variáveis devem ser

Substituindo esse resultado na primeira equação apresentada neste passo, podemos resolver o produto escalar

Com isso, obtemos uma equação para a reta tangente à curva de nível no ponto

Obtidos todos os valores solicitados, podemos montar um gráfico.

Primeiro precisamos encontrar qual é a expressão gráfica da curva de nível, e para isso basta substituir na função

Essa é a equação de uma elipse no plano que será esboçada em nosso gráfico.

Para esboçar o vetor gradiente, basta encontrar no gráfico o ponto e desenhar nele um vetor seguindo a expressão

A reta tangente é esboçada de acordo com a sua equação