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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 2

Determine a função f : R 2 → R   cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que

∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )

Passo 1

Inicialmente resolveremos resolver o item a. Para isso, vamos verificar se existe a função

∂ f ∂ x = P ( x , y ) = 2 x y 3 - 2 x

∂ f ∂ y = Q ( x , y ) = 3 x 2 y 2 + 2 y - 1

Sendo assim,

∂ P ∂ y = 6 x y 2

∂ Q ∂ x = 6 x y 2

Logo, a função existe. Sendo assim,

f x , y = ∫ ∂ f ∂ x d x = ∫ 2 x y 3 - 2 x d x = 2 ∫ x y 3 d x -   2 ∫ x d x

= 2 x 2 2 y 3 - 2 x 2 2 + C y = x 2 y 3 - x 2 + C y

Dessa maneira,

∂ f ( x , y ) ∂ y = 3 x 2 y 2 + C ' y

Por outro lado,

∂ f ( x , y ) ∂ y = 3 x 2 y 2 + 2 y - 1

Logo, C ' y = 2 y - 1 e consequentemente C y = y 2 - y + k , onde k é uma constante.

Portanto,

f x , y = x 2 y 3 - x 2 + y 2 - y + k

Passo 2

Como o gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) então podemos determinar o valor de k , ou seja,

f 1,2 = ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 - 1 2 + 2 2 - 2 + k = 1

⇒ 8 - 1 + 4 - 2 + k = 1

⇒ 9 + k = 1

⇒ k = 1 - 9 = - 8

Portanto,

f x , y = x 2 y 3 - x 2 + y 2 - y - 8

Resposta

f x , y = x 2 y 3 - x 2 + y 2 - y - 8

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