Exercícios de Vetor Gradiente - Lista de Exercícios Resolvida

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

Sejam

Calcule:

Considere as superfícies

Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.

Considere a superfície de equação . Se o vetor é tangente a em , então:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

6. Seja . Desenhe um campo satisfazendo .

Sejam uma função diferenciável e , uma curva cuja imagem está contida no gráfico f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto . Sabendo que a reta r contém o ponto determine o vetor gradiente de f no ponto e a equação de plano tangente ao gráfico de f no ponto

5) A temperatura, em Kelvin, de certo ambiente é modelada pela função .

(I) Considerando direções unitárias, qual é a maior taxa de resfriamento, ou seja, a taxa de variação mais negativa da temperatura no ponto ?

(II) Uma andorinha move-se na trajetória , onde denota tempo. Qual é a taxa de variação de temperatura sentida pela andorinha quando ela passa pelo ponto ? Dica: Utilize a tangente de no ponto .

(III) O valor encontrado no item (II) é menor (mais negativo) que o encontrado no item (I). Porque isso não contradiz o da taxa de variação no item (I) ser a de maior resfriamento?

Obtenha a equação do plano tangente à superfície no ponto

A temperatura numa câmara cresce com a altura. As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto é diretamente proporcional à altura do ponto. Determine a expressão de em , sabendo-se que é nula quando a altura é zero.

Seja , onde e são constantes reais. Que condições devem satisfazer as constantes e para que seja um ponto de mínimo relativo de ? Justifique.

3 – Considere a função .

d) A função é harmônica? Isto é, ?

3 – Considere a função .

b) Calcule e desenhe os vetores gradientes nos pontos e . Use o mesmo desenho do item anterior.

A curva de nível da função diferenciável é parametrizada por . A curva , tem sua imagem contida no gráfico de .

a) Determine o vetor tangente à curva no ponto .

b) Determine o vetor tangente à curva no ponto .

c) Calcule

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

c) Qual a taxa máxima de variação em P (−1, −1, 1)?

Diga se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

1. Se duas funções e são tais que é contínua em um determinado valor e é descontínua em , então a composta será descontínua em .

Determine a curva de nível de

Que seja tangente à curva descrita por

Qual o ponto de tangencia?

Dado a função , o gradiente para todo é:

Considere a função . Calcular o gradiente da função

(a) +

(b) +

(c) +

(d) +

(e) +

Seja a superfície de equação , onde e são constantes. Para que a reta , , seja tangente a no ponto , o valor de deve ser:

3. Nenhuma das demais alternativas

Seja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Seja (ou seja, é positiva) tal que

Onde é um aberto contendo

Calcule e , escrevendo todos os seus cálculos corretamente.

Considere a função dada por . Considere a curva de nível de que passa pelo ponto : esta curva tem equação (onde ).

(a) Encontre o valor de .

(b) Escreva uma parametrização para a curva de nível indicando o domínio de .

(c) Escreva um vetor não nulo tangente ao traço de no ponto e um vetor não nulo normal ao traço de no ponto .

Considere as superfícies

1. Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.

A temperatura em um ponto é dada por onde é medido em Celsius e em metros. Direção e sentido de mais crescimento no ponto é:

3 – Considere a função .

c) Determine os pontos onde o gradiente de se anula.

A frase: Se é uma função tal que em um ponto e é um vetor unitário, então é .....

A temperatura em um ponto é dada por , onde é medida em graus Celsius e em metros. A direção e sentido de maior aumento da temperatura a partir do ponto é dada pelo vetor unitário e a taxa de variação máxima da temperatura neste ponto é ..... graus Celsius por metro.

Questão 4 – Considere a função , onde é uma função diferenciável.

(b) Se , calcule aproximadamente .

Questão 4 – Considere a função , onde é uma função diferenciável.

(a) Sabendo que , calcule .

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .

1. Em que direção varia mais rapidamente em ?

A altura do pico do Jabre (município de Matureia – PB) é, de maneira aproximada, dada por

onde mede a altura em relação ao nível do mar e mede as distâncias leste-oeste e norte-sul em relação ao local do pico (medidas em quilômetro). Considerando que você esteja localizado no ponto , determine:

a) A direção de maior declividade para se descer o pico.

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .

1. Qual a taxa de variação máxima em ?

Seja a função abaixo definida

1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de .
2. Determine a função gradiente de .
3. Determine o conjunto dos pontos onde é diferenciável.

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

a) Determine a taxa de variação do potencial em P (−1, −1, 1) na direção do vetor

v = 2î − ĵ + 2k .

Suponha que representa o valor da temperatura em sobre os pontos do plano .

1. Se é um ponto da curva qual o ângulo entre o vetor tangente a em e o vetor gradiente ?

Seja a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto determine:

b) a direção e sentido a partir do ponto P em que a temperatura aumenta mais rapidamente e a taxa de crescimento da temperatura nessa direção

Seja a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto determine:

c) a taxa de variação da temperatura a partir do ponto na direção de um vetor unitário que faz um ângulo de com o gradiente da temperatura no ponto.

Sem usar o método dos multiplicadores de Lagrange determine os pontos do cone

que estão mais próximos do ponto

Considere a curva com e a função . Suponha que e que para todo . Determine:

O gradiente de em .

(Capítulo 14.6 – Exercício 51) Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto pode ser escrita como

Questão 1. Calcule as derivadas parciais pela definição, o vetor gradiente, e encontre e para cada uma das funções:

a) .

Resolva as inequações:

b)

O potencial numa lâmina plana é dado por em volts.

b) Determine a direção e a taxa na qual o potencial eleva-se mais rapidamente no ponto (1,2).

Seja .

1. Mostre que é conservativo

Considere uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula localziada em precisa esquentar rapidamente. Outra partícula precisa resfriar-se o mais rápido possível. Qual é a taxa máxima de descrescimento da temperatura em .

Ache o gradiente das seguintes funções abaixo:

a)

Ache o gradiente das seguintes funções abaixo:

b)

No exercício anterior, calcule o gradiente nos seguintes pontos abaixo.

b)

No exercício anterior, calcule o gradiente nos seguintes pontos abaixo.

c)

No exercício anterior, calcule o gradiente nos seguintes pontos abaixo.

a)

No exercício anterior, calcule o gradiente nos seguintes pontos abaixo.

d)

Ache o gradiente das seguintes funções abaixo:

d)

Considere a superfície S dada pela equação . Se o vetor é tangente a em , mostre que .

Seja . Identifique e esboce todas as curvas de nível . Para quais valores de temos que a curva de nível correspondente é não vazia?

Considere a função .

(a) Indique a direção que determina a maior taxa de crescimento de no ponto . Qual é o valor dessa taxa?

(b) Calcule a derivada direcional de na direção no ponto .

(c) Considere a curva , , e a função composta . Calcule .

Seja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Seja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Ache o gradiente das seguintes funções abaixo:

c)

2.1. Se , ache o vetor gradiente e use-o para achar a reta tangente à curva de nível de no ponto . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.

2.4. Considere uma função de classe . Suponha que:

(i) a imagem da curva plana , para , esteja contida numa curva de nível de .

(ii) a imagem da curva no espaço , com , esteja contida no gráfico de .

a. Determine

Encontre as equações dos planos tangentes ao gráfico de que passam por ambos os pontos e

Um reservatório cilíndrico fechado deve conter litros de fluido, onde é o número formado pelos últimos três dígitos do seu RA. Determine as dimensões do depósito de modo que a quantidade de material usada em sua construção seja mínima e determine qual é a área mínima.

1. Afigura mostra uma porção de um mapa da região Sul de Minas Gerais onde estão indicadas as curvas de nível da função altura com relação ao nível do mar. Existe uma linha grossa para cada de elevação e uma linha fina em cada intervalo de . Considere os pontos e no mapa. As setas indicam o vetor gradiente de no ponto indicado. Diga se as relações abaixo são verdadeiras ou não, marcando um “V” se a relação for verdadeira ou um “F” se a relação for falsa.

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