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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 8 d

Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j →   , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂   R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ   : A →     R tal que ∇ φ x , y =   F → x , y   em A .  

Uma função φ , quando existe, denomina-se função potencial associada ao campo F → . O campo de forças dado é conservativo? Justifique.

d) F → x , y = x x 2 + y 2 3 2 i → + y x 2 + y 2 3 2 j →

Passo 1

Eita, man! Lascou-se foi tudo! É mentiraaaaaaaaaa!(leia com voz de quadrilha junina... É que eu amo o São João e já estou no clima mesmo em setembro). Mas vamos ao que interessa.

A questão nos diz que o campo é conservativo se podemos encontrar uma função tal que seu gradiente coincide com as componentes x e y   do campo dado. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função φ tal que

∂ φ ∂ x x , y = P ( x , y )

∂ φ ∂ y x , y = Q ( x , y )

Mas se ligue que isso corresponde à fazer uma continhas que já fizemos que dizia assim: Verifique se existe uma função definida no R 2 que satisfaz: ∂ f ∂ x x , y = b l á   b l á   e ∂ f ∂ y x , y = x o x o x o e em caso positivo, encontre-a. Aí a gente fazia uma continha para verificar se era possível. Se alembra qualé ?

A gente fazia a seguinte coisa:

∂ f ∂ x x , y = Q x , y ⟹   ∂ Q ∂ y x , y   e ∂ f ∂ y x , y = P x , y   ⟹   ∂ P ∂ x x , y  

Se ∂ Q ∂ y x , y =   ∂ P ∂ x x , y ,   então a função existia. A ideia aqui é a mesm. Não perde isso de vista, minino!

Vamos pás conta!

Passo 2

Pela definição do campo que nos foi dado, temos que:

∂ φ ∂ x x , y = x x 2 + y 2   e   ∂ φ ∂ y x , y = y x 2 + y 2  

Seguindo a ideia que vimos no passo anterior,

P x , y = x x 2 + y 2   e     Q x , y =   y x 2 + y 2  

Vamos verificar se φ existe.

∂ P ∂ y x , y = - 3 2 x 2 y x 2 + y 2 1 2 x 2 + y 2 3 =   - x y x 2 + y 2 5 2 =     ∂ Q ∂ x x , y = - 3 2 y 2 x x 2 + y 2 1 2 x 2 + y 2 3

Pode preparar o quentão que o campo é conservativo, bb!

Resposta

O campo é conservativo.

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