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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 6

Determine todas as funções z = phi (x , y) , x < 0 tal que phi (- 1,1) = (pi)/(4) e para y > 0

grad phi (x , y) , = ((- y)/(x^2 + y^2) , (x)/(x^2 + y^2))

Passo 1

Vamos encontrar a função que a questão pede, beleza? Como temos a garantia de que y é não nulo, vamos integrar em y , já que lá vamos fazer uma divisão. Você vai entender melhor com as contas. Vmos la!

phi (x , y) = int (del phi)/(del y) d y = int (x)/(x^2 + y^2) d y = x int (1)/(x^2 + y^2) d y = x int (1)/(((y^2)/(x^2) + 1) * x^2) d y = (1)/(x) int (1)/(((y^2)/(x^2) + 1)) d y = int (1)/(((y^2)/(x^2) + 1)) (1)/(x) d y

Vamos fazer uma substituição para facilitar nossas contas, u = (y)/(x) temos que d d u = (1)/(x) d y

int (1)/(((y^2)/(x^2) + 1)) (1)/(x) d y = int (1)/(1 + u^2) d u = a r c t g (u) + C (y) = a r c t g ((y)/(x)) + C ( x )

Perceba que temos uma constante de x já que nossa função também depende de x e integramos apenas com relação a x e que, .

Então,

phi (x , y) = a r c t g ((y)/(x)) + C ( x )

Passo 2

Vamos tentar descobrir qual a constante que depende de y . Vejamos que

(del phi)/(del x) = (- y)/(x^2 + y^2) + C^' (x)

Por outro lado,

(del phi)/(del x) = (- y)/(x^2 + y^2)

Sendo assim,

(- y)/(x^2 + y^2) + C^' (y) = (- y)/(x^2 + y^2)

Temos que

C^' (y) = 0 ⟹ C (y) = 0 + K

Então, nossa função,

phi (x , y) = a r c t g ((y)/(x)) + K

Precisamos que a função passe pelos pontos x = - 1 , y = 1 , z = (pi)/(4) . Ou seja,

(pi)/(4) = phi (- 1,1) = a r c t g (- 1) + K ⟹ k = (3 pi)/(4) + (pi)/(4) = pi

Logo, a função que precisamos é

phi (x , y) = a r c t g ((y)/(x)) + pi

Resposta

phi (x , y) = a r c t g ((y)/(x)) + pi

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