1-52 Calcule a integral.

12- ∫ s e n 2 x cos 4 ⁡ x   d x

Passo 1

Galerinha, nós temos uma integral nesse formato aqui:

∫ s e n m x cos n ⁡ x   d x

Onde m ,   n são pares, certo ?!

Então, o melhor jeito da gente resolver esse treco é usando essa identidade:

s e n   x cos ⁡ x = s e n 2 x 2   ( 1 ) cos 2 ⁡ x = 1 2 ( 1 + cos ⁡   ( 2 x ) )   ( 2 )

Fechou ?! Então, vamos começar!

Passo 2

Substituindo s e n   x cos ⁡ ( x ) pela identidade 1, temos:

∫ ( s e n   x cos ⁡   x ) 2 cos 2 ⁡ x   d x

Substituindo s e n   x cos ⁡ ( x ) pela identidade 1, e cos 2 ⁡ x pela identidade 2, temos:

∫ s e n 2 x 2 2 ( 1 + c o s   2 x 2 )   d x

1 8 ∫ s e n 2 ( 2 x ) +   s e n 2 2 x cos  ⁡ 2 x d x

Acho que vai ficar mais de boas se a gente separar essa integral, né ?!

1 8 ∫ s e n 2 ( 2 x )   d x + 1 8 ∫ s e n 2 2 x cos  ⁡ 2 x d x

Passo 3

Resolvendo a primeira integral:

1 8 ∫ s e n 2 ( 2 x )   d x

Substituindo s e n 2 ( 2 x ) pela identidade ( 1 - cos 2 ⁡ ( 2 x ) ) , temos:

1 8 ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ ( 2 x ) )   d x

Substituindo cos 2 ⁡ ( 2 x ) pela identidade 2 do primeiro passo, temos:

1 8 ∫ 1 - 1 2 ( 1 + cos ⁡   ( 4 x ) )   d x

Separando essa integral:

1 8 ∫ 1 d x = x 8

- 1 16 ∫ x d x = - x 16

- 1 16 ∫ cos ⁡ ( 4 x ) d x

Pra resolver essa integral vamos ter que fazer uma substituição:

4 x = u

4   d x = d u

d x = d u 4

Então, nossa integral fica:

- 1 64 ∫ cos ⁡ u d u = - s e n   u 64

Desfazendo a substituição:

- 1 16 ∫ cos ⁡ ( 4 x ) d x = - s e n   ( 4 x ) 64

Portanto, a nossa primeira integral fica assim:

1 8 ∫ s e n 2 ( 2 x )   d x = x 8 - x 16 - s e n   ( 4 x ) 64

= x 16 - s e n   ( 4 x ) 64

Ok, acabamos essa parte, mas ainda temos que calcular a outra integral (achou que tinha acabado, né meu filho ?!).

Passo 4

Vamos resolver essa integral:

1 8 ∫ s e n 2 2 x cos  ⁡ 2 x d x

Se substituirmos s e n   ( 2 x ) por u , temos:

s e n   2 x = u

2 cos ⁡   2 x d x = d u

cos ⁡ 2 x d x = d u 2

Substituindo na integral:

1 16 ∫ u 2   d u = u 3 48

Desfazendo a nossa substituição:

1 8 ∫ s e n 2 2 x cos  ⁡ 2 x d x = s e n 3 ( 2 x ) 48

Passo 5

Chegamos, finalmente, ao seguinte resultado para nossa integral:

∫ s e n 2 x cos 4 ⁡ x   d x = x 16 - s e n   ( 4 x ) 64 + s e n 3 ( 2 x ) 48

Eu acho que é essa a sensação depois dessa questão, né ?!

Senta, respira e nos vemos no próximo exercício !

Resposta

x 16 - s e n   ( 4 x ) 64 + s e n 3 ( 2 x ) 48

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