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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 12

1-52 Calcule a integral.

12- int s e n^2 x cos^4 x d x

Passo 1

Galerinha, nós temos uma integral nesse formato aqui:

int s e n^m x cos^n x d x

Onde m , n são pares, certo ?!

Então, o melhor jeito da gente resolver esse treco é usando essa identidade:

{[[s e n x cos x = (s e n (2 x))/(2) ( 1 )],[cos^2 x = (1)/(2) ( 1 + cos ( 2 x ) ) ( 2 )]])

Fechou ?! Então, vamos começar!

Passo 2

Substituindo s e n (x) cos ( x ) pela identidade 1, temos:

int ( s e n x cos x )^2 cos^2 x d x

Substituindo s e n (x) cos ( x ) pela identidade 1, e cos^2 x pela identidade 2, temos:

int ((s e n (2 x))/(2))^2 ( (1 + c o s (2 x))/(2) ) d x

(1)/(8) int s e n^2 ( 2 x ) + s e n^2 (2 x) cos (2 x) d x

Acho que vai ficar mais de boas se a gente separar essa integral, né ?!

(1)/(8) int s e n^2 ( 2 x ) d x + (1)/(8) int s e n^2 (2 x) cos (2 x) d x

Passo 3

Resolvendo a primeira integral:

(1)/(8) int s e n^2 ( 2 x ) d x

Substituindo s e n^2 ( 2 x ) pela identidade ( 1 - cos^2 ( 2 x ) ) , temos:

(1)/(8) int ( 1 - cos^2 ( 2 x ) ) d x

Substituindo cos^2 ( 2 x ) pela identidade 2 do primeiro passo, temos:

(1)/(8) int 1 - (1)/(2) ( 1 + cos ( 4 x ) ) d x

Separando essa integral:

(1)/(8) int 1 d x = (x)/(8)

- (1)/(16) int x d x = - (x)/(16)

- (1)/(16) int cos ( 4 x ) d x

Pra resolver essa integral vamos ter que fazer uma substituição:

4 x = u

4 d x = d u

d x = (d u)/(4)

Então, nossa integral fica:

- (1)/(64) int cos u d u = - (s e n u)/(64)

Desfazendo a substituição:

- (1)/(16) int cos ( 4 x ) d x = - (s e n ( 4 x ))/(64)

Portanto, a nossa primeira integral fica assim:

(1)/(8) int s e n^2 ( 2 x ) d x = (x)/(8) - (x)/(16) - (s e n ( 4 x ))/(64)

= (x)/(16) - (s e n ( 4 x ))/(64)

Ok, acabamos essa parte, mas ainda temos que calcular a outra integral (achou que tinha acabado, né meu filho ?!).

Passo 4

Vamos resolver essa integral:

(1)/(8) int s e n^2 (2 x) cos (2 x) d x

Se substituirmos s e n ( 2 x ) por u , temos:

s e n (2 x) = u

2 cos (2 x) d x = d u

cos (2 x) d x = (d u)/(2)

Substituindo na integral:

(1)/(16) int u^2 d u = (u^3)/(48)

Desfazendo a nossa substituição:

(1)/(8) int s e n^2 (2 x) cos (2 x) d x = (s e n^3 ( 2 x ))/(48)

Passo 5

Chegamos, finalmente, ao seguinte resultado para nossa integral:

int s e n^2 x cos^4 x d x = (x)/(16) - (s e n ( 4 x ))/(64) + (s e n^3 ( 2 x ))/(48)

Eu acho que é essa a sensação depois dessa questão, né ?!

Senta, respira e nos vemos no próximo exercício !

Resposta

(x)/(16) - (s e n ( 4 x ))/(64) + (s e n^3 ( 2 x ))/(48)

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