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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 58c

Calcule as integrais no Exercício 57 quando m   e n denotam o mesmo inteiro não negativo:

∫ 0 2 π sen ⁡ m x sen ⁡ n x d x = 0

Passo 1

A ideia é que m = n , então podemos reescrever nossa integral:

∫ 0 2 π sen 2 ⁡ m x d x

Para resolver essa integral, nós temos que lembrar da identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ m x = 1 - cos ⁡ 2 m x 2

Aí substituímos isso na integral:

∫ 0 2 π 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 m x ) d x = 1 2 ∫ 0 2 π 1 d x - 1 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 m x d x

Vamos calcular cada termo dessa expressão aí.

Passo 2

O primeiro podemos calcular direto:

1 2 ∫ 0 2 π 1 d x = 1 2 2 π = π

Passo 3

Já na segunda, podemos usar a substituição:

u = 2 m x

d u d x = 2 m ∴ d u 2 m = d x

Aí a integral fica:

∫ 0 2 π 1 2 cos ⁡ 2 m x d x = ∫ 1 4 m cos ⁡ u d u = s e n   u 4 m = s e n   2 m x 4 m ​ 0 2 π

= s e n   2 m   2 π - s e n   0   4 m

Mas lembra que 0 e 2 π são pontos coincidentes, e que m é inteiro, m 2 π também vai ser um ponto coincidente com 0 . Por isso:

sen ⁡ 0 = sen ⁡ 2 m   2 π = 0

E a integral fica:

∫ 0 2 π 1 4 m cos ⁡ u d x = s e n   2 m   2 π - s e n   0   4 m = 0

Juntando tudo:

∫ 0 2 π sen ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 1 2 ∫ 0 2 π 1 d x - 1 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 m x d x = π - 0 = π

Resposta

∫ 0 2 π sen ⁡ m x sen ⁡ n x d x = π

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