Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 57a
Sejam e inteiros não negativos e distintos. Use as Fórmulas (16) a (18) para provar:
Passo 1
Como temos seno e cosseno, a fórmula que a gente precisa usar é essa:
E olhando para integral que a gente tem:
Substituindo o valor de alfa e beta na fórmula:
Voltando na integral:
Vamos calcular cada uma separado.
Passo 2
Na primeira, podemos usar a substituição:
Aí a integral fica:
Mas lembra que e são pontos coincidentes, e que como e são inteiros, também vai ser um ponto coincidente com . Por isso:
E a integral fica:
Passo 3
Já na segunda, podemos usar a substituição:
Aí a integral fica:
Mas lembra de novo que e são pontos coincidentes, e que como e são inteiros, também vai ser um ponto coincidente com . Por isso:
E a integral fica:
Vimos que as duas integrais zeram, então:
Resposta
Prova nos passos.