Calcule a integral:

∫ c o s s e c 4 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

É bom a gente pensar em fazer aparecer nas integrais com cossecante, a amiga dela, a cotangente, para conseguirmos fazer substituições e usar as integrais que a gente conhece. Para fazer isso no nosso caso, podemos lembrar que:

c o t g 2 x + 1 = c o s s e c 2 x

E reescrevendo nossa integral:

∫ c o s s e c 4 x d x = ∫ c o t g 2 x + 1   c o s s e c 2 x   d x = ∫ c o t g 2 x   c o s s e c 2 x d x + ∫ c o s s e c 2 x d x

Agora é resolver cada uma dessas integrais.

Passo 2

Resolvendo a primeira:

∫ c o t g 2 x   c o s s e c 2 x d x

Temos uma função e a derivada dela do lado. Podemos chamar:

u = c o t g   x

d u d x = - c o s s e c 2 x ∴ - d u = c o s s e c 2 x   d x

Nossa integral fica:

∫ - u 2   d u = - u 3 3

Voltando para x :

∫   c o t g 2 x   c o s s e c 2 x d x = - c o t g 3   x 3

Passo 3

Resolvendo a segunda:

∫ c o s s e c 2 x   d x

Podemos lembrar que:

c o t g   x ' = - c o s s e c 2 x

Por isso, podemos dizer que:

∫ c o s s e c 2 x d x = - c o t g   x

Passo 4

Agora é só somar tudo, sem esquecer da constante de integração:

∫ c o s s e c 4 x d x = - c o t g 3 x 3 - c o t g   x + C

Resposta

∫ c o s s e c 4 x d x = - c o t g 3 x 3 - c o t g   x + C

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