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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 52

Calcule a integral:

int c o s s e c^4 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

É bom a gente pensar em fazer aparecer nas integrais com cossecante, a amiga dela, a cotangente, para conseguirmos fazer substituições e usar as integrais que a gente conhece. Para fazer isso no nosso caso, podemos lembrar que:

c o t g^2 x + 1 = c o s s e c^2 x

E reescrevendo nossa integral:

int c o s s e c^4 x d x = int (c o t g^2 x + 1) c o s s e c^2 x d x = int c o t g^2 x c o s s e c^2 x d x + int c o s s e c^2 x d x

Agora é resolver cada uma dessas integrais.

Passo 2

Resolvendo a primeira:

int c o t g^2 x c o s s e c^2 x d x

Temos uma função e a derivada dela do lado. Podemos chamar:

u = c o t g x

(d u)/(d x) = - c o s s e c^2 x :. - d u = c o s s e c^2 x d x

Nossa integral fica:

int - u^2 d u = - (u^3)/(3)

Voltando para x :

int c o t g^2 x c o s s e c^2 x d x = (- c o t g^3 x)/(3)

Passo 3

Resolvendo a segunda:

int c o s s e c^2 x d x

Podemos lembrar que:

(c o t g x)^' = - c o s s e c^2 x

Por isso, podemos dizer que:

int c o s s e c^2 x d x = - c o t g x

Passo 4

Agora é só somar tudo, sem esquecer da constante de integração:

int c o s s e c^4 x d x = (- c o t g^3 x)/(3) - c o t g x + C

Resposta

int c o s s e c^4 x d x = (- c o t g^3 x)/(3) - c o t g x + C

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