(b) Se

C(x) = 16000 + 500x - 1,6*x² + 0,004*x³

for a função custo e

p(x) = 1 / 700 - 7x

a função demanda, encontre o nível de produção que maximiza o lucro.

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão dá pra gente a função custo como sendo

C x = 16   000 + 500 x - 1,6 x 2 + 0,004 x ³

E a função demanda como sendo

p x = 1   700 - 7 x

E pede pra gente encontrar o nível de produção que maximiza o lucro.

Para fazer isso precisamos lembrar que a o lucro obtido com a venda de um determinado produto segue a seguinte relação:

L x = R x - C x

Ou seja, o lucro é a diferença entre a receita e o custo.

E para o nosso caso, nos foi dada a demanda. Assim, a receita será o produto entre a quantidade x e a demanda p x . Assim:

R x = x ⋅ p x

Então o lucro se torna:

L x = x ⋅ p x - C x

Lembrando que o lucro seja máximo vai acontecer em um ponto de máximo dessa função. Assim, podemos usar a derivada igualada a zero para encontrar esse ponto.

Vemos ver isso no passo a passo.

Passo 2

Vamos maximizar nossa função lucro, encontrando sua derivada. Lembrando que

L x = R x - C x

Reescrevendo a receita em termos da demanda dada no enunciado. Teremos:

R x = x p x = 1700 x - 7 x 2

E assim, nossa função lucro se torna:

L x = 1700 x - 7 x 2 - 16   000 + 500 x - 1,6 x 2 + 0,004 x ³

E arrumando os sinais:

L x = 1700 x - 7 x 2 - 16   000 - 500 x + 1,6 x 2 - 0,004 x 3

e reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:

L x = - 16   000 + 1 2 00 x - 5,4 x 2 - 0,004 x 3

Maravilha.

Passo 3

Agora vamos derivar a função lucro e igualar a derivada a zero para encontrar seus pontos críticos.

L x = - 16   000 + 1200 x - 5,4 x 2 - 0,004 x 3

Aplicando a regra do expoente

L ' x = 1200 - 10,8 x - 0,0 12 x 2

E igualando a derivada a zero:

1200 - 10,8 x - 0,012 x 2 = 0

Como é uma equação de segundo grau, vamos procurar suas raízes. Primeiro vamos dividir tudo por 0,012 para facilitar nossa vida:

0,012 x 2 0,012 + 10,8 x 0,012 - 1200 0,012 = 0  

E assim, ficamos com:

x 2 + 900 x - 100   000 = 0

E fatorando, teremos:

x + 1000 x - 100 = 0

Assim, as raízes serão:

x = - 1000 ou x = 100

Como quantidade não pode ser negativa, temos que o nível de produção que maximiza o lucro é 100 .

E prontinho. Essa é a quantia pedida pelo enunciado.

Resposta

O nível de produção que maximiza o lucro é 100 .

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