Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 60b
(b) Se
for a função custo e
a função demanda, encontre o nível de produção que maximiza o lucro.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função custo como sendo
E a função demanda como sendo
E pede pra gente encontrar o nível de produção que maximiza o lucro.
Para fazer isso precisamos lembrar que a o lucro obtido com a venda de um determinado produto segue a seguinte relação:
Ou seja, o lucro é a diferença entre a receita e o custo.
E para o nosso caso, nos foi dada a demanda. Assim, a receita será o produto entre a quantidade e a demanda . Assim:
Então o lucro se torna:
Lembrando que o lucro seja máximo vai acontecer em um ponto de máximo dessa função. Assim, podemos usar a derivada igualada a zero para encontrar esse ponto.
Vemos ver isso no passo a passo.
Passo 2
Vamos maximizar nossa função lucro, encontrando sua derivada. Lembrando que
Reescrevendo a receita em termos da demanda dada no enunciado. Teremos:
E assim, nossa função lucro se torna:
E arrumando os sinais:
e reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:
Maravilha.
Passo 3
Agora vamos derivar a função lucro e igualar a derivada a zero para encontrar seus pontos críticos.
Aplicando a regra do expoente
E igualando a derivada a zero:
Como é uma equação de segundo grau, vamos procurar suas raízes. Primeiro vamos dividir tudo por para facilitar nossa vida:
E assim, ficamos com:
E fatorando, teremos:
Assim, as raízes serão:
ou
Como quantidade não pode ser negativa, temos que o nível de produção que maximiza o lucro é .
E prontinho. Essa é a quantia pedida pelo enunciado.
Resposta
O nível de produção que maximiza o lucro é .