O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume estará aumentando quando o diâmetro for 80 mm?

Passo 1

Opa, vamos lá! Temos uma esfera de diâmetro r que esta aumentando a uma taxa de 4 m m / s . Sabendo disso temos que calcular a taxa de crescimento do volume para d = 80 m m .

Ou seja, temos:

d ( r ) d t = 4 m m / s

Queremos:

d V d t = ? ? ?

A primeira coisa que devemos fazer é relacionar o volume da esfera em função de seu raio:

V = 4 π r 3 3

Podemos derivar os dois lados com respeito ao tempo t :

d V d t = d d t 4 π r 3 3

4 3 π   é uma constante, então ela sai da derivada:

d V d t = 4 3 π d r 3 d t

Temos que:

d d 3 d t = 3 r 2 d r d t  

Então:

d V d t = 4 3 π   3 r 2 d r d t  

d V d t = 4 π r 2 d r d t  

Passo 2

Se o raio varia a uma razão de d r d t =   4   m m / s quando o diâmetro é 80 mm (ou seja, o raio é r = d 2 = 40 mm), então:

d V d t = 4 π r 2 d r d t

d V d t = 4 π ( 40 ) 2 4

d V d t = 25600 π

Logo, o volume varia a uma razão de 25600 π   m m 3 / s .

Resposta

O volume varia a uma razão de 25600 π   m m 3 / s .

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