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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 11

A mortalidade no inverno de certa espécie de animal selvagem numa dada região do hemisfério norte apresenta uma taxa proporcional ao número de indivíduos presentes em qualquer momento. Havia 2.400 indivíduos da espécie em 21 de dezembro (primeiro dia de inverno) e 30 dias depois havia 2.000. Quantos indivíduos da espécie deverão sobreviver ao inverno? Isto é, quantos estarão vivendo 90 dias após 21 de dezembro?

Passo 1

Sendo y a quantidade de indivíduos da espécie, a taxa de decrescimento de y é proporcional a y . Temos então a equação diferencial:

d y d t = - k y

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para y 0 = 2400 e y 30 = 2000 , sendo t o número de dias decorridos desde o início do inverno.

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d y y = - k d t

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ - k d t ⇒ ln ⁡ | y | = - k t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

y = e - k t + C ⇒ y = A e - k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De y 0 = 2400 , temos:

A e 0 = 2400 ⇒ A = 2400 ⇒ y = 2400 e - k t

Agora, de y 30 = 2000 , obtemos:

2400 e - 30 k = 2000 ⇒ e - 30 k = 2000 2400 = 5 6

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 30 k = ln ⁡ 5 6 = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 6 ⇒ - 30 k = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 6 ⇒ k = ln ⁡ 6 - ln ⁡ 5 30 ≈ 0,006077

Passo 4

Agora temos a função completa:

y t ≈ 2400 e - 0,006077 t

Queremos a quantidade 90 dias após o início do inverno, ou seja, y ( 90 ) :

y 90 ≈ 2400 ⋅ e - 0,006077 ⋅ 90 = 2400 ⋅ e - 0,54693 ≈ 2400 ⋅ 0,5787 = 1389

Resposta

1389   i n d i v í d u o s   s o b r e v i v e r ã o .

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