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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 18

18. Deduza a fórmula para o volume de um cone circular reto com h unidades de altura e a unidades de raio da base, rotacionando a região limitada pelo triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Passo 1

Vamos entender a região delimitada e depois usar a fórmula do volume aplicado pro cone.

Passo 2

Rotacionando em torno de x a reta x h + y a = 1 vamos formar o cone. Essa reta define um lado do triângulo. Esse vai ser o raciocínio.

Agora vamos usar um elemento de volume, que será um disco circular desse cone centrado no eixo x , onde x vai de 0 até h . O raio do disco será dado ao isolarmos y da equação da reta, porque giramos em torno de x .

Raio do disco: a ( 1 - w i / h ) , onde w i é uma porção infinitesimal que corresponde a x .

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n π A ξ i ∆ i x = π ∫ a b A x d x

No nosso caso, como vimos antes, a área do disco será π r 2 ...

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n π [ a ( 1 - w i / h ) ] 2 ∆ i x = π a 2 ∫ 0 h 1 - 2 x h + x 2 2 d x

V = π a 2 ∫ 0 h 1 - 2 x h + x 2 2 d x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

π a 2 ∫ 0 h 1 - 2 x h + x 2 h 2 d x = π a 2 [ x - x 2 h + x 3 3 h 2 ] 0 h = π a 2 h - h 2 h + h 3 3 h 2 = π a 2 h 3

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = π a 2 h 3

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