10. y = 3 + sen(y), x = 0, y = - (5π / 2), e y = (5π / 2)

Passo 1

Temos que f (y) = 3 + sen y

O gráfico dessa equação é o seguinte:

No eixo y temos: - (5 pi)/(2) <= y <= (5 pi)/(2)

No eixo x temos: 0 <= x <= 3 + sen y

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = pi int_a^b [f ( y )]^2 d y

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = pi int_(- (5 pi)/(2))^(+ (5 pi)/(2)) (3 + sen y)^2 d y

= pi int_(- (5 pi)/(2))^(+ (5 pi)/(2)) ( 9 + 6 sen y + sen^2 y ) d y

Obs.: int sen^2 y d y = (y)/(2) - (cos y sen y)/(2)

= (pi (9 y - 6 cos y - (1)/(2) sen y cos y + (1)/(2) y)|_(- (5 pi)/(2))^((5 pi)/(2)) =

= pi (9 (5 pi)/(2) + (1)/(2) (5 pi)/(2) - 9 * - (5 pi)/(2) - (1)/(2) * - (5 pi)/(2))

= pi ((90 pi)/(2) + (10 pi)/(4))

= (95)/(2) pi^2 u . v .

Resposta

= (95)/(2) pi^2 u . v .

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