22. A densidade linear em um ponto de uma barra de 5 m varia diretamente com a distância do ponto a um ponto externo à barra sobre a sua reta suporte e a 2 m de um extremo, onde a densidade é K kg/m. Ache K se a massa total da barra for 135 kg.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na definição de densidade linear e calcular o K pedido.

Passo 2

A definição 6.4.1 nos diz o seguinte:

M = l i m ∆ → 0 ∑ i = 1 n ρ ξ i   ∆ i x = ∫ 0 L ρ x d x

L é o comprimento da barra

M é a massa total da barra

ρ é a densidade linear

Passo 3

Precisamos escrever ρ em função de x , podemos fazer assim:

ρ x = c ( 7 - x )

Calma, vamos ver o que é isso...

Considerando a origem no início da barra:

c é uma constante de proporcionalidade

7 é o valor extremo (5m da barra+2m de distância do extremo)

Com isso escrevemos a densidade linear ao longo da barra

Passo 4

Temos a massa total, então vamos colocar na fórmula:

M = ∫ 0 L ρ x d x

Já escrevemos ρ x e temos M , então...

135 = ∫ 0 5 c ( 7 - x ) d x

135 = 7 c x - c x 2 2 0 5

135 = [ 7 c ( 5 ) - c ( 5 ) 2 2 - ( 0 ) ]

135 = 35 c - 25 c 2

135 = c 35 - 25 2

c = 135 45 2 = 6

Passo 5

Com esse valor, podemos jogar na expressão de densidade, que a questão chama de K ρ x = K = c ( 7 - x )

Como é da barra toda...

ρ 5 = K = 6 7 - 5 = 12   k g / m 3

Resposta

K = 12   k g / m 3

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