18- Use um sistema algébrico computacional para plotar o campo vetorial

F(x, y, z) = sen(x) * cos^2(y) + i^sen^3(y) + cos^4(z) * j^sen^5(z) + cos^6(x) * k^

no cubo obtido cortando o primeiro octante pelos planos x = pi / 2 , y = pi / 2 e z = pi / 2 . Em seguida calcule o fluxo através da superfície do cubo.

Passo 1

Faala, pessoal!

Essa questão pede duas coisas.

A primeira é plotar o campo vetorial F → num cubo. Pra isso, vamos usar o software Mathematica.

A segunda é calcular o fluxo desse campo na superfície do cubo. Pra isso, aplicamos o teorema do divergente, que diz:

∬ S F → ∙ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V

Onde E é o sólido limitado pela superfície S , e o divergente de F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ é

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Então vamos calcular esse divergente, definir quem é E , e calcular a integral tripla!

Passo 2

Começando com o desenho do campo:

F → x , y , z = sen ⁡ x cos 2 ⁡ y   i ^ + sen 3 ⁡ y cos 4 ⁡ z   j ^ + sen 5 ⁡ z cos 6 ⁡ x   k ^

Como nosso cubo está no primeiro octante, x , y , z ≥ 0

E está sendo limitado pelos planos x , y , z = π / 2

Então:

0 ≤ x ≤ π 2

0 ≤ y ≤ π 2

0 ≤ z ≤ π 2

Vamos usar o comando “VectorPlot3D” no Mathematica, pra plotar o campo vetorial nesses intervalos (que definem o cubo), só que pra melhorar o visual, vou incluir mais dois comandos:

VectorScaling Automatic

VectorSizes Automatic

Esses dois atributos, dentro do comando “VectorPlot” deixam o ajuste de tamanho e escala dos vetores automáticos, o que facilita a nossa visualização do campo. Então, o comando e a resposta ficam assim:

Passo 3

Agora vamos calcular o divergente de F → , onde:

P = sen ⁡ x cos 2 ⁡ y

Q = sen 3 ⁡ y cos 4 ⁡ z

R = sen 5 ⁡ z cos 6 ⁡ x

Derivando P em função de x , com y , z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ sen ⁡ x cos 2 ⁡ y ∂ x = cos ⁡ x cos 2 ⁡ y

E derivando Q em função de y , vamos ter que usar a regra da cadeia:

∂ Q ∂ y = ∂ sen 3 ⁡ y cos 4 ⁡ z ∂ y = ∂ sen 3 ⁡ y cos 4 ⁡ z ∂ sen ⁡ y ∙ ∂ sen ⁡ y ∂ y =

= 3 sen 2 ⁡ y cos ⁡ y cos 4 ⁡ z

Por último, derivando R em função de z , de novo com a regra da cadeia:

∂ R ∂ z = ∂ sen 5 ⁡ z cos 6 ⁡ x ∂ z = ∂ sen 5 ⁡ z cos 6 ⁡ x ∂ sen ⁡ z ∙ ∂ sen ⁡ z ∂ z =

= 5 sen 4 ⁡ z cos ⁡ z cos 6 ⁡ x

E o divergente fica:

div ⁡ F → = cos ⁡ x cos 2 ⁡ y + 3 sen 2 ⁡ y cos ⁡ y cos 4 ⁡ z + 5 sen 4 ⁡ z cos ⁡ z cos 6 ⁡ x

Passo 4

Pra chegar da integral, só falta definirmos quem é o E .

Bom, se a superfície S é a superfície do cubo, o sólido E vai ser o próprio cubo definido por:

0 ≤ x ≤ π 2

0 ≤ y ≤ π 2

0 ≤ z ≤ π 2

Então a integral fica:

∭ E div ⁡ F → d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 div ⁡ F → d x d y d z

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ x cos 2 ⁡ y + 3 sen 2 ⁡ y cos ⁡ y cos 4 ⁡ z + 5 sen 4 ⁡ z cos ⁡ z cos 6 ⁡ x   d x d y d z

Passo 5

Jogando no Mathematica, encontramos o resultado:

∬ S F → ∙ d S → = 19 π 2 64

Resposta

19 π 2 64

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados