Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 11

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x y s e n z   i + cos ⁡ x z j + y c o s ( z )   k

S   é o elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Passo 1

E aê, galerinha top! 😊

Precisamos calcular a integral de superfície através do Teorema da Divergência, sabendo que o campo vetorial de fluxo F é

F → x , y , z = x y s e n z   i + cos ⁡ x z j + y c o s ( z )   k

Através da superfície S definida pelo elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Pessoas, pra calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente, precisamos ter essa fórmula aqui:

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Ou seja, temos que calcular o divergente ( d i v ) do campo F → que é dado pelas derivadas parciais do campo:

d i v F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Como queremos achar o ∬ s F ⋅ d S a ideia var ser achar o d i v ( F ) e calcular a integral tripla, beleza?

Passo 2

A questão nos deu

F → x , y , z = x y s e n z   i + cos ⁡ x z j + y c o s ( z )   k

Onde

F x = x y s e n z

F y = cos ⁡ x z

F z = y c o s ( z )

A gente sabe que o d i v ( F ) é:

D i v ( F ) = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Então teremos o seguinte:

D i v ( F ) = ∂ ∂ x x y s e n z + ∂ ∂ y cos ⁡ x z + ∂ ∂ z ( y c o s ( z ) )

Calculando:

D i v F = y s e n z + 0 - y s e n z

Portanto,

D i v ( F ) = 0

Passo 3

Agora é só usar o teorema do Passo 1

∬ s F ⋅ d S = ∭ E D i v F d V

Como

D i v F = 0

Então,

∬ s F ⋅ d S = 0

Belezinha? 😉

Resposta

∬ s F ⋅ d S = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = x 3 + y 3 i ^ + ( y 3 + z 3 ) j ^ + ( z 3 + x 3 ) k
Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E . F → x , y , z = ( x 2 ,- y ,z ) , E é o cilindro sólido y 2 + z 2 ≤ 9 , 0 ≤ x ≤ 2 .
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ∙ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = x 2 y zi ^ + x y 2 zj ^ + x y z 2k ^ S é a superfíci
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = zi ^ + yj ^ - z xk ^ S é a superfície do tetraedro l
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ∙ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → = r → 2r → , onde r → = xi ^ + yj ^ + zk ^ S é a esfera com raio