Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x y s e n z   i + cos ⁡ x z j + y c o s ( z )   k

S   é o elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Passo 1

E aê, galerinha top! 😊

Precisamos calcular a integral de superfície através do Teorema da Divergência, sabendo que o campo vetorial de fluxo F é

F → x , y , z = x y s e n z   i + cos ⁡ x z j + y c o s ( z )   k

Através da superfície S definida pelo elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Pessoas, pra calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente, precisamos ter essa fórmula aqui:

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Ou seja, temos que calcular o divergente ( d i v ) do campo F → que é dado pelas derivadas parciais do campo:

d i v F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Como queremos achar o ∬ s F ⋅ d S a ideia var ser achar o d i v ( F ) e calcular a integral tripla, beleza?

Passo 2

A questão nos deu

F → x , y , z = x y s e n z   i + cos ⁡ x z j + y c o s ( z )   k

Onde

F x = x y s e n z

F y = cos ⁡ x z

F z = y c o s ( z )

A gente sabe que o d i v ( F ) é:

D i v ( F ) = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Então teremos o seguinte:

D i v ( F ) = ∂ ∂ x x y s e n z + ∂ ∂ y cos ⁡ x z + ∂ ∂ z ( y c o s ( z ) )

Calculando:

D i v F = y s e n z + 0 - y s e n z

Portanto,

D i v ( F ) = 0

Passo 3

Agora é só usar o teorema do Passo 1

∬ s F ⋅ d S = ∭ E D i v F d V

Como

D i v F = 0

Então,

∬ s F ⋅ d S = 0

Belezinha? 😉

Resposta

∬ s F ⋅ d S = 0

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