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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 15

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = e y t g z   i → +   y 3 - x 2   j → + x s e n y   k →

S   é a superfície z = 2 - x 4 - y 4 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Fala, moçada! Tudo show? 😊

Nessa questão, vamos calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente.

A questão nos deu o campo vetorial

F → x , y , z = e y t g z   i → +   y 3 - x 2   j → + x s e n y   k →

Numa superfície S definida por

z = 2 - x 4 - y 4 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1

Primeiro, gente, pra calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente, precisamos ter essa fórmula aqui:

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Ou seja, temos que calcular o divergente ( ∇ ) do campo F → que é dado pelas derivadas parciais do campo:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Passo 2

Como temos

F → x , y , z = e y t g z   i → +   y 3 - x 2   j → + x s e n y   k →

Então,

F x = e y t g z  

F y = y 3 - x 2

F z = x s e n y

Logo, vamos fazendo as derivadas parciais de cada termo para termos o divergente de F .

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x e y t g z   + ∂ ∂ y y 3 - x 2 + ∂ ∂ z x s e n y

∇ ⋅ F → = 3 - x 2

Certo? Agora vamos ver a região de integração!

A região de integração é uma superfície estranha, mas bem delimitada. Os limites de x , y   e   z são:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2 - x 4 - y 4

E o diferencial de volume vai ser

d V = d z d y d x

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

Para a nossa fórmula

∭ E ∇ ⋅ F → d V

Substituindo tudo nela, teremos:

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 - x 4 - y 4 3 - x 2 d z d y d x

Primeiro, resolvendo de dentro para fora, vamos calcular em relação a d z .

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 3 - x 2 z 0 2 - x 4 - y 4 d y d x

Aplicando os limites de integração e organizando tudo, teremos:

∫ - 1 1 ∫ - 1 1   ( 2 3 - x 2 - x 4 3 - x 2 - y 2 3 - x 2 )   d y d x

Essa integral é bem complicadinha, eu fiz um pouco mais na mão, mas você pode jogar em uma calculadora para garantir o resultado, como o livro sugere =D

∫ - 1 1 10 3 3 - x 2 - 2 x 4 3 - x 2   d x

E olhando em uma calculadora temos:

18 2 5 + 54 5 s e n - 1 1 3 - 81 12 s e n - 1 1 3 + 25 2 12

Organizando melhor, chegaremos a

341 2 60 + 81 20 s e n - 1 1 3

Belezinha? 😊

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 341 2 60 + 81 20 s e n - 1 1 3

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