Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 1
Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial na região .
, é o cubo limitado pelos planos .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!
Basicamente, ela quer que apliquemos o Teorema do Divergente
No campo vetorial para a região , sendo
E é o cubo limitado pelos planos.
Lembrando que divergente é calculado assim:
Então, para fazer isso, vamos calcular primeiro o lado direito do teorema, resolvendo a integral tripla e depois o lado esquerdo, resolvendo a integral de superfície. Poderia ser o contrário também, ok?
Passo 2
Começando, temos nosso campo vetorial
Pelo Teorema da Divergência temos:
Sendo assim, vamos testar dos dois lados.
Começando pelo lado direito, vamos calcular o divergente do campo :
Passo 3
Legal! O próximo passo é saber qual é a região .Como a questão diz é um cubo com essas equações
Todas as coordenadas variam de até , então:
Ou seja, todos os lados são iguais a .
E o elemento de volume é
Passo 4
Agora podemos calcular o valor de
Substituindo o que encontramos,
Resolvendo para
Aplicando os limites
Resolvendo para
Aplicando os limites
Resolvendo para
Pronto! Já sabemos que o lado direito do Teorema da divergência é
Vamos para o próximo passo!
Passo 5
Agora vamos calcular o lado esquerdo do teorema
Vamos começar encontrando a região .
Como a região a ser considerada é um cubo, então devemos levar em conta a contribuição de cada uma das faces. Vamos fazer região por região aos poucos
Para :
O campo é e em ele fica:
O produto escalar entre e é:
A região é um retângulo de lado , no plano . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral :
Passo 6
Para :
O campo é e em ele fica:
O produto escalar entre e é:
Assim:
Passo 7
Para :
O campo é e em ele fica:
O produto escalar entre e é:
A região é um retângulo de lado , no plano . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral:
Passo 8
Para :
O campo é e em ele fica:
O produto escalar entre e é:
Assim:
Passo 9
Para :
O campo é e em ele fica:
O produto escalar entre e é:
A região é um retângulo de lado , no plano . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral:
Passo 10
Para :
O campo é e em ele fica:
O produto escalar entre e é:
Assim:
Passo 11
Muito bem! Finalizamos todas as regiões, agora vamos somar todos os resultados. Temos:
Logo,
Então verificamos o teorema 😃