O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = t * g (x / 2) converte qualquer função racional de sen(x) e cos(x) em uma função racional ordinária de t .

b) Mostre que

cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) e sen(x) = 2t / (1 + t^2)

Passo 1

Já sabemos que

s e n   x 2 = t 1 + t 2     e   cos ⁡ x 2 = 1 1 + t 2

Vamos usar também as relações de arco duplo:

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

s e n   2 x = 2   s e n   x cos ⁡ x

Ou ainda,

cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2 - s e n 2 x 2

s e n   x = 2   s e n   x 2 cos ⁡ x 2

Passo 2

Assim,

cos ⁡ x = 1 1 + t 2 2 - t 1 + t 2 2 = 1 - t 2 1 + t 2

Passo 3

Para o seno:

s e n   x = 2 ⋅ t 1 + t 2 ⋅ 1 1 + t 2 = 2 t 1 + t 2

Resposta

Demonstração.

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