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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 59b

O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = t g x 2 converte qualquer função racional de s e n   x e cos ⁡ x em uma função racional ordinária de t .

b) Mostre que

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2     e     s e n   x = 2 t 1 + t 2

Passo 1

Já sabemos que

s e n   x 2 = t 1 + t 2     e   cos ⁡ x 2 = 1 1 + t 2

Vamos usar também as relações de arco duplo:

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

s e n   2 x = 2   s e n   x cos ⁡ x

Ou ainda,

cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2 - s e n 2 x 2

s e n   x = 2   s e n   x 2 cos ⁡ x 2

Passo 2

Assim,

cos ⁡ x = 1 1 + t 2 2 - t 1 + t 2 2 = 1 - t 2 1 + t 2

Passo 3

Para o seno:

s e n   x = 2 ⋅ t 1 + t 2 ⋅ 1 1 + t 2 = 2 t 1 + t 2

Resposta

Demonstração.

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Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral. ∫ 0 π 2 s e n2 x 2 + cos ⁡ xd x
Usando a substituição z = tan ⁡ 1 2 x , prove que ∫ c o s s e cxd x = ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C
Calcule a integral definida. ∫ 0 1 x 1 + x 3d x
Calcule ∫ d x x - x por dois métodos: (a) tomando x = z 2 ; (b) escrevendo x - x = x x - 1 e tomando u = x - 1 .
Mostre que o resultado do exercício 48 é equivalente à fórmula ∫ c o s s e cxd x = ln ⁡ | c o s s e cx - c o t a nx | + C .