Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) .

F x ,   y = x y 2 i - x 2 j ,   r t = t 3 i + t 2 j ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilo?

A questão pede a integral

∫ C F ∙ d r

onde C é dada pela função vetorial r ( t ) .

  r t = t 3 i + t 2 j ,   0 ≤ t ≤ 1

E a função F é:

F x ,   y = x y 2 i - x 2

Então pessoal, o que precisamos fazer aqui é resolver essa integral:

∫ C F ∙ d r = ∫ 0 1 F r t ∙ r ' t d t

Só vamos precisar derivar nosso vetor r t e substituir nossas funções paramétricas na função do integrando, daí é só resolvermos nossa integral normalmente.

Vamo que vamo!

Passo 2

Aqui vale ressaltar que o intervalo de integração foi tirado do próprio enunciado, no qual determina que 0 ≤ t ≤ 1 , tudo bem? Mas quem seria F r t ? Comparando as componentes, do nosso vetor r ( t ) , temos que:

  r t = t 3 i + t 2 j

Então cada componente traz as equações parametrizadas de cada variável:

x = t ³

y = t ²

Sendo assim, F r t será:

F r t = t 3 t 4 i - t 6 j

Ok, e quem seria r ' t ? É a derivada de r ( t ) , que é:

r ' t = 3 t 2 i + 2 t j

Passo 3

Agora que determinamos F r t e r ' t , vamos realizar aquele produto escalar que aparece dentro do integrando, saca só

F r t ∙ r ' t = t 3 t 4 ,   - t 6 ∙ 3 t 2 ,   2 t

Multiplicando cada componente e somando os resultados:

F r t ∙ r ' t = 3 t 9 - 2 t 7

Substituindo na integral, teremos:

∫ 0 1 3 t 9 - 2 t 7 d t

Integrando cada termo da nossa soma dentro da integral.

= 3 t 10 10 - 2 t 8 8 1 0

Aplicando os limites de integração:

3 10 - 2 8 = 4 80 = 1 20

Prontinho! Chegamos no resultado que queríamos!

∴ ∫ C F ∙ d r = 1 20

E esse é o resultado da nossa integral de linha 😊!

Resposta

∫ C F ∙ d r = 1 20

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