Seja gamma(t) = (R \* cos(t), R \* sen(t)) , 0 <= t <= 2pi R > 0 . Mostre que

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y

Não depende de R

Passo 1

Para resolver nosso problema, quase tudo foi nos dados. O que ainda precisamos resolver é quem são nossos d x e d y . Uma vez que já foi nos dado x e y isso não será algo complicado.

Passo 2

Tome

x = R cos ⁡ t

y = R   s e n   t

Assim teremos

d x = - R   s e n   t   d t

E

d y = R cos ⁡ t   d t

Assim podemos reescrever nossa integral como

∫ 0 2 π - - R   s e n   t R 2 - R   s e n   t   d t + R cos ⁡ t R 2 R cos ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π d t

A partir deste ponto que na verdade é o último antes de integral, já chegamos à conclusão de que nossa integral não depende de R .

Não precisamos nem terminar nosso problema para saber que o resultado final é 2 π .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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