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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 8

Seja gamma (t) = (R cos t , R s e n t) , 0 <= t <= 2 pi (R > 0) . Mostre que

int_gamma (- y)/(x^2 + y^2) d x + (x)/(x^2 + y^2) d y

Não depende de R

Passo 1

Para resolver nosso problema, quase tudo foi nos dados. O que ainda precisamos resolver é quem são nossos d x e d y . Uma vez que já foi nos dado x e y isso não será algo complicado.

Passo 2

Tome

x = R cos t

y = R s e n t

Assim teremos

d x = - R s e n t d t

E

d y = R cos t d t

Assim podemos reescrever nossa integral como

int_0^(2 pi) - (- R s e n t)/(R^2) (- R s e n t d t) + (R cos t)/(R^2) (R cos t d t) = int_0^(2 pi) d t

A partir deste ponto que na verdade é o último antes de integral, já chegamos à conclusão de que nossa integral não depende de R .

Não precisamos nem terminar nosso problema para saber que o resultado final é 2 pi .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x e yd s C é o arco de curva x = e y de ( 1 ,0 ) a ( e ,1 ) .
Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) . F x ,y = x y 2 i - x 2 j ,r t = t 3 i + t 2 j ,0 ≤ t ≤ 1
Determinar o trabalho realizado pela força f → = 1 x , 1 y Ao longo da curva y = 1 x do ponto ( 1,1 ) ao ponto 2 , 1 2 .
Determinar o trabalho realizado pela força constante f → = i → + j → para deslocar uma partícula ao longo da reta x + y = 1 , do ponto A = 0,1 aB = ( 1,0 ) .
Calcular o trabalho realizado pela força f → = 1 x + 2 , 1 y + 3 Para deslocar uma partícula em linha reta do ponto P ( 3,4 ) até Q = ( - 1,0 ) .