Enunciado

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x ,   y ,   z = x y + z ,   ( 8 ,   1 ,   3 )

Passo 1

Fala ai galerinha! De boa? Se liga na questão e como podemos resolver!

O objetivo da questão é determinar a taxa de variação máxima da função f ( x , y , z ) = x y + z ​ no ponto ( 8,1 , 3 ) e identificar a direção em que essa máxima variação ocorre.

Para resolver isso

  • Utilizamos o conceito de gradiente, que nos fornece a direção na qual a função cresce mais rapidamente, e a magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima da função nessa direção específica.
  • Calculamos o gradiente de f e determinamos o vetor unitário na direção do gradiente para encontrar a direção de máxima variação.
  • Calculamos a magnitude do gradiente para obter a taxa de variação máxima da função no ponto especificado.

Passos dado, agora vamos resolver!

Passo 2

A taxa de variação máxima de f ocorre quando a derivada direcional D u f é ∇ f , ou seja, basta encontrarmos o gradiente de f no ponto dado e depois tirar seu módulo pelo teorema de Pitágoras! O gradiente é dado por:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

Que são nada mais, nada menos do que as derivadas parciais de f . Descobrindo essas derivadas:

f x ,   y ,   z = x y + z

Para f x

O denominador será um termos fixo

d f d x = d d x x y + z

d f d x = 1 y + z ∙ d d x   x

f x = 1 y + z

Passo 3

Para f y

O termo x será um termo fixo. d f d y = d d y x y + z

d f d y = x ∙ d d y   1 y + z

Através da Regra da Cadeia

d f d y = x ∙ d d y y + z - 1

d f d y = x ∙ - 1 y + z - 1 - 1 ∙ d d y y + z

d f d y = - x y + z - 2

f y = - x y + z 2

Passo 4

Para f z

O termo x será um termo fixo. d f d z = d d z x y + z

d f d z = x ∙ d d z   1 y + z

Através da Regra da Cadeia

d f d z = x ∙ d d z y + z - 1

f z = - x y + z 2

Passo 5

O gradiente será:

∇ f x ,   y ,   z = 1 y + z ,   - x y + z 2 ,   - x y + z 2

O enunciado pede o gradiente no ponto ( 8 ,   1 ,   3 ) , então:

∇ f 8 ,   1 ,   3 = 1 1 + 3 ,   - 8 1 + 3 2 ,   - 8 1 + 3 2

∇ f 8 ,   1 ,   3 = 1 4 ,   - 1 2 ,   - 1 2

Passo 6

Sendo assim, a taxa de variação máxima de f será em:

∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 1 4 2 + - 1 2 2 + - 1 2 2

∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 1 16 + 1 4 + 1 4

∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 9 16

∴ ∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 3 4

Na direção 1 4 ,   - 1 2 ,   - 1 2 . A taxa de variação máxima de f no ponto 8,1 , 3 .

E está aí nosso resultado 😊!

Resposta

∇ f ( 8 ,   1 ,   3 = 3 4

N a   d i r e ç ã o   1 4 ,   - 1 2 ,   - 1 2

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