Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 25
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Fala ai galerinha! De boa? Se liga na questão e como podemos resolver!
O objetivo da questão é determinar a taxa de variação máxima da função no ponto e identificar a direção em que essa máxima variação ocorre.
Para resolver isso
- Utilizamos o conceito de gradiente, que nos fornece a direção na qual a função cresce mais rapidamente, e a magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima da função nessa direção específica.
- Calculamos o gradiente de e determinamos o vetor unitário na direção do gradiente para encontrar a direção de máxima variação.
- Calculamos a magnitude do gradiente para obter a taxa de variação máxima da função no ponto especificado.
Passos dado, agora vamos resolver!
Passo 2
A taxa de variação máxima de ocorre quando a derivada direcional é , ou seja, basta encontrarmos o gradiente de no ponto dado e depois tirar seu módulo pelo teorema de Pitágoras! O gradiente é dado por:
Que são nada mais, nada menos do que as derivadas parciais de . Descobrindo essas derivadas:
Para
O denominador será um termos fixo
Passo 3
Para
O termo será um termo fixo.
Através da Regra da Cadeia
Passo 4
Para
O termo será um termo fixo.
Através da Regra da Cadeia
Passo 5
O gradiente será:
O enunciado pede o gradiente no ponto , então:
Passo 6
Sendo assim, a taxa de variação máxima de será em:
Na direção . A taxa de variação máxima de no ponto .
E está aí nosso resultado 😊!