Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 18
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:
18. , onde é o triângulo de vértices e no sentido anti-horário.
Passo 1
Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:
E a nossa força pela integral que vemos no enunciado:
Tiramos que é dada por:
Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.
Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva. Mas no nosso caso, é um triângulo, que vai ser formado pela união de três segmentos de retas. Ou seja, são três curvas que teremos de parametrizar...
Para isso, façamos o esboço do nosso sistema:
Passo 2
E aí que vem o grande xis da questão. Podemos verificar no esboço abaixo, em que é o nosso campo curvilíneo.
Que em dois segmentos do nosso triângulo, o campo vetorial é perpendicular. Logo, a componente tangencial do campo sobre a superfície é nula. De modo que:
Onde é a curva referente ao segmento de reta dos pontos e e é o segmento de reta pertinente aos pontos e .
Ou seja, temos que obter apenas que pega os pontos e )...
Passo 3
Vamos lá para o nosso segmento de reta, que pega os pontos e )...
Nós já sabemos que um segmento de reta pode ser parametrizado da seguinte forma:
Onde , é o par ordenado formado por dois pontos quaisquer da reta, no caso peguemos o par .
E para obter o valor façamos que..
Nossa primeira curva, que chamaremos de , é dada então por:
Nesse caso, .
Passo 4
O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.
Onde temos que:
Assim, bora tratar de fazer a troca:
Para a curva :
Passo 5
Seguindo nosso raciocínio, o passo número cinco consiste em encontrar o termo fazendo:
Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:
Para a curva :
Passo 6
Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:
Pera! Mas quais são os limites de integração?
Ora bolas! Do ao , obtemos que . Então, nosso limite de integração vai de até :
E ficamos apenas com: