Calcule ∫ γ x   d x + y   d y , sendo gamma dada por x = t^2 e y = sen t , 0 <= t <= pi/2 .

Passo 1

Este nosso exercício não cobra muito de nós, visto que estamos começando. Vamos aproveitar a parametrização dada no enunciado e calcular nosso d x e d y .

Passo 2

Como é dado que x = t 2 , então temos que d x = 2 t   d t . Seguindo, temos que y = s e n   t , então d y = cos ⁡ t   d t . Se tiver com duvida do que dizemos, Regra da Caideia. Super Importante.

Assim agora com os valores calculados podemos rescrever nossa integral como

∫ γ x   d x + y   d y = ∫ 0 π / 2 t 2 2 t   d t + s e n   t cos ⁡ t   d t

A primeira integral é bem tranquila né ... Com ela teremos

∫ 0 π / 2 2 t 3 d t = 2 t 4 4 0 π / 2 = π 4 32

Passo 3

Já a segunda integral, vamos usar uma substituição simples. Tome que s e n   t = u → cos ⁡ t   d t = d u

Assim teremos que

∫ 0 π / 2 s e n   t cos ⁡ t   d t = ∫ 0 1 u   d u = u 2 2 0 1 = 1 2

Assim temos como resultado da nossa integral

∫ γ x   d x + y   d y = π 4 32 + 1 2

Resposta

π 4 32 + 1 2

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