Calcule int_gamma x d x + y d y , sendo gamma dada por x = t^2 e y = s e n t , 0 <= t <= pi // 2 .

Passo 1

Este nosso exercício não cobra muito de nós, visto que estamos começando. Vamos aproveitar a parametrização dada no enunciado e calcular nosso d x e d y .

Passo 2

Como é dado que x = t^2 , então temos que d x = 2 t d t . Seguindo, temos que y = s e n t , então d y = cos t d t . Se tiver com duvida do que dizemos, Regra da Caideia. Super Importante.

Assim agora com os valores calculados podemos rescrever nossa integral como

int_gamma x d x + y d y = int_0^(pi // 2) t^2 2 t d t + s e n t cos t d t

A primeira integral é bem tranquila né ... Com ela teremos

int_0^(pi // 2) 2 t^3 d t = 2 [(t^4)/(4)]_0^(pi // 2) = (pi^4)/(32)

Passo 3

Já a segunda integral, vamos usar uma substituição simples. Tome que s e n t = u -> cos t d t = d u

Assim teremos que

int_0^(pi // 2) s e n t cos t d t = int_0^1 u d u = [(u^2)/(2)]_0^1 = (1)/(2)

Assim temos como resultado da nossa integral

int_gamma x d x + y d y = (pi^4)/(32) + (1)/(2)

Resposta

(pi^4)/(32) + (1)/(2)

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