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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 20

20. Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivadas.

f x = x 2 x - 1

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x 2 x - 1

E nosso objetivo é obter os máximos e mínimos dessa função usando a primeira e a segunda derivada de f .

Tranquilo até aqui?

O teste da primeira derivada é dado por

Já o teste da segunda derivada é dado por

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar esse probleminha derivando a função pela regra do quociente

f x = x 2 x - 1 → f ' x = d x 2 d x · x - 1 - x 2 · d x 2 - 1 d x x - 1 2

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

Agora temos que analisar os sinais de f ' ...

Para f ' > 0 temos

x 2 - 2 x x - 1 2 > 0 → x 2 - 2 x > 0

x x - 2 > 0

Pelo teste da Primeira Derivada f ' x > 0 quando x < 0 ou x > 2 .

E para, f ' x < 0 temos

x 2 - 2 x x - 1 2 < 0 → x 2 - 2 x < 0

x x - 2 < 0

O valor de x precisa ser 0 < x < 2 .

Com esses valores podemos dizer que quando f ' muda de positivo para negativo x = 0 e esse valor de máximo é

f 0 = 0 2 0 - 1

f 0 = 0

Quando f ' muda de negativo para positivo x = 2 , temos um valor de mínimo que é

f 2 = 2 2 2 - 1

f 2 = 4

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Fazendo pelo teste da segunda derivada,

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

Derivando f ' , novamente pela regra do quociente

f ' ' x = d x 2 - 2 x d x · x - 1 2 - x 2 - 2 x · d x - 1 2 d x x - 1 2 2

f ' ' x = d x 2 - 2 x d x · x - 1 2 - x 2 - 2 x · d x 2 - 2 x + 1 d x x - 1 4

f ' ' x = 2 x - 2 · x - 1 2 - x 2 - 2 x · 2 x - 2 x - 1 4

Manipulando a função vamos tentar simplificar essa derivada

f ' ' x = 2 x - 2 x - 1 2 - x 2 - 2 x x - 1 4

f ' ' x = 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 - x 2 + 2 x x - 1 4

Perceba que podemos simplificar x 2 , 2 x e x - 1 ...

f ' ' x = 2 x - 1 3

Temos, portanto, que quando x = 0

f ' ' 0 = 2 0 - 1 3 = - 2

f ' ' 0 = - 2 < 0 . Então, f 0 = 0   é um máximo local.

Quando x = 2

f ' ' 2 = 2 2 - 1 3 = 2

f ' ' 2 = 2 > 0 , temos então um valor de mínimo, que equivale a f 2 = 4 é um valor de mínimo local.

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

x = 0 e esse valor de máximo é f 0 = 0 . E, x = 2 , é um valor de mínimo que corresponde a f 2 = 4 .

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7-16. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores.11. f x = 3 x 4 x 2 + 1; - 1 ,1
7-16. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores.16. f x = 6 - 4 x ; - 3 ,3
4. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua f com as propriedades indicadas no intervalo - ∞ ,+ ∞ .a) f não tem extremos relativos nem absolutos.b) f tem um mínimo absoluto em x = 0 , ma