42. Calcule a integral

int s e n 2 theta s e n 6 theta d theta

Passo 1

Vamos reescrever a nossa integral pra vê se da uma melhorada nas ideias, usando a identidade com um nome muito chique, chamada próstafarese

s e n a s e n b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)]

Logo, nossa integral fica assim:

int s e n 6 theta s e n 2 theta d theta = int (1)/(2) [c o s (4 theta) - c o s (8 theta)] d theta

Separando as integrais,

int (1)/(2) [c o s (4 theta) - c o s (8 theta)] d theta = (1)/(2) int cos 4 theta d theta - (1)/(2) int cos 8 theta d theta

Pela tabela,

(1)/(2) int cos 4 theta d theta - (1)/(2) int cos 6 theta d theta = (1)/(8) s e n (4 theta) - (1)/(16) s e n (8 theta) + C

Resposta

int s e n 2 theta s e n 6 theta d theta = (1)/(8) s e n (4 theta) - (1)/(16) s e n (8 theta) + C

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