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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 21

21- Utilize a tabela do Exemplo 3 e determine a aproximação linear do índice de calor quando a temperatura se aproxima de 94   F e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 80 % . Estime também o índice quando a temperatura é de 95   F e a umidade relativa, 78 % .

Passo 1

A tabela do exemplo 3 é:

E a aproximação linear do índice de calor pela fórmula de linearização será igual a:

I = f T , H ≈ f a , b + f T a , b T - a + f v ( a , b ) ( H - b )

E para conseguir o índice de calor no ponto ( 95,78 ) temos que utilizar algum ponto conhecido que seja próximo ao ponto que queremos um ponto de interesse pode ser (é o ponto recomendado pela questão também, mas poderia utilizar f ( 96,80 ) ):

a , b = ( 94 , 80 )

Logo:

f a , b = f 94 , 80 = 127

Passo 2

Agora precisamos calcular f T ( 94,80 ) e f H ( 94,80 ) e para isso vamos fazer:

f T 94,80 = 1 2 f 96,80 - f 94,80 2 + f 92,80 - f 94,80 - 2

Que é a média das derivadas no ponto anterior e posterior na tabela em direção de T , o que nos será:

f T 94,80 = 1 2 135 - 127 2 + 119 - 127 - 2 = 4

Agora para f H :

f H 94,80 = 1 2 f 94,85 - f ( 94,80 ) 5 + f 94,75 - f ( 94,80 ) - 5

Agora a variação tem que ser na direção de H na tabela.

f H 94,80 = 1 2 132 - 127 5 + 122 - 127 - 5 = 1

Passo 3

Dessa forma a linearização do índice de calor estará da seguinte forma:

L T , H ≈ 127 + 4 T - 94 + ( H - 80 )

Logo o índice de calor T = 95 e H = 78 será aproximadamente igual a:

I = L 95,78 ≈ 127 + 4 95 - 94 + 78 - 80 = 129 °   F

Como a umidade não tem dimensão, e o índice de calor depende somente da temperatura e da umidade logo a unidade do índice será em fahrenheits.

Resposta

L T , H ≈ 127 + 4 T - 94 + ( H - 80 )

I ≈ 129   ° F

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