Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.9 - Ex. 21
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Faaaaala aí, minhas queridas e meus queridos. Vamos dar uma olhadinha nessa questão?
O enunciado pede pra trabalharmos com essa função aqui:
Ele pede três coisinhas pra gente.
A derivada da função;
O domínio da função;
O domínio da derivada.
Pra calcularmos a derivada, vamos usar essa definição aqui:
Não surta ainda! Vamos ver direitinho como usar esse camarada aí.
Depois disso, precisamos estabelecer os domínios da função e da derivada. Mas o que é domínio mesmo?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pontos que pode assumir sem dar nenhum problema na função.
Por exemplo, se estivéssemos estudando a função , avariável não poderia ser igual a , certo? É esse tipo de coisa que precisamos checar.
Vamos ver juntos cada um desses pontos!
Passo 2
Vamos começar calculando a nossa derivada.Relembrando, a definição que vamos usar é essa aqui:
Sabemos que a nossa função é:
E podemos ver que:
Vamos aplicar no nosso limite:
Olha só! Descobrimos que a derivada da nossa função é igual a .
Passo 3
Agora vamos dar uma olhada no domínio das nossas funções. Começando com :
Geralmente, os princiais elementos que podem causar algum tipo de restrição no nosso domínio são esses aqui:
Frações : Denominador não pode ser igual a ;
Raiz com índice par: Radicando não pode ser negativo;
Logaritmo: O logaritmando tem que ser estritamente positivo.
Ora... Nenhum desses elementos aparece na nossa função! Então pode assumir qualquer valor real que a nossa função não vai “quebrar”. Ou seja:
O mesmo vai valer pra nossa derivada :
Não existe qualquer restrição pra . Então também podemos dizer que o domínio da nossa derivada é o conjunto dos números reais:
Boa! Conseguimos fechar a questãozinha!