56. Encontre as constantes A , B e C tal que a função y = A x 2 + B x + C satisfaça a equação diferencial y ' ' + y ' - 2 y = x 2 .

Enunciado

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom a questão deu pra gente a função

E disse que ela satisfaz a equação diferencial

E presaremos achar os valores de , e para que a igualdade seja verdadeira.

A ideia para resolver essa questão, vamos descobrir quanto vale e e substituir na equação.

Assim, os valores de , e poderão ser calculados.

Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso.

Vamos começar procurando .

Lembrado que

Teremos:

Derivada de polinômio é só baixar o grau dele e passar o expoente multiplicando:

Beleza, agora vamos derivar mais uma vez para descobrirmos o valor de :

Maravilha!

Pronto, agora temos tudo o que precisamos para substituir na equação do enunciado:

Escrevendo a equação de segundo grau com seus devidos coeficientes:

Agora basta comparar os dois lados da equação.

Então para essa igualdade ser verdadeira teremos a comparação de termo a termo dos coeficiente. Assim:

Então:

Também precisa ser satisfeita, essa equação:

Portanto:

Como sabemos que e precisamos satisfazer essa equação:

Podemos escrever:

E assim temos todos os coeficiente pedidos!