Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 56
56. Encontre as constantes , e tal que a função satisfaça a equação diferencial .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom a questão deu pra gente a função
E disse que ela satisfaz a equação diferencial
E presaremos achar os valores de , e para que a igualdade seja verdadeira.
A ideia para resolver essa questão, vamos descobrir quanto vale e e substituir na equação.
Assim, os valores de , e poderão ser calculados.
Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso.
Passo 2
Vamos começar procurando .
Lembrado que
Teremos:
Derivada de polinômio é só baixar o grau dele e passar o expoente multiplicando:
Beleza, agora vamos derivar mais uma vez para descobrirmos o valor de :
Maravilha!
Passo 3
Pronto, agora temos tudo o que precisamos para substituir na equação do enunciado:
Escrevendo a equação de segundo grau com seus devidos coeficientes:
Agora basta comparar os dois lados da equação.
Então para essa igualdade ser verdadeira teremos a comparação de termo a termo dos coeficiente. Assim:
Então:
Também precisa ser satisfeita, essa equação:
Portanto:
Como sabemos que e precisamos satisfazer essa equação:
Podemos escrever:
E assim temos todos os coeficiente pedidos!
Resposta
e