Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.8 - Ex. 27
O custo da produção de onças () de ouro provenientes de uma nova mina é dólares.
Qual o significado da derivada de ? Quais são suas unidades?
O que significa ?
Você acha que os valores de vão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.
Passo 1
Essa questão é puramente teórica, então vamos pensar juntos e tentar formular uma boa e coerente resposta.
Essa questão é mais teórica e nos faz 3 perguntas envolvendo derivadas. Então vamos começar relembrando que derivada é uma taxa de variação instantânea de uma medida. Ou seja, é como uma grandeza varia, a cada ponto.
No item a, precisamos dizer o que significa especificamente a derivada da função custo e sua unidade. Então vamos avaliar o que é a derivada, como já começamos a recapitular.
Nos itens b e c, precisamos dizer o que significa a derivada num ponto específico e se ela é crescente ou decrescente.
Passo 2
Bom, o que significa a derivada de ?
Como a derivada é a taxa de variação instantânea de em relação a , então seria a taxa de variação instantânea do custo por , que é a quantidade de onças produzidas de ouro.
Em outras palavras, ela é o tanto que o custo aumenta pra produzir uma unidade a mais.
Isso é exatamente o que os economistas chamam de custo marginal!
Custo marginal é a mudança no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade produzida.
A sua unidade vai ser a razão da unidade de pela unidade de :
Passo 3
No item b, queremos saber o que significa .
Bom, lembra que a derivada é uma taxa de variação INSTANTÂNEA?? Significa que é a taxa de variação em um ponto.
No caso aqui, é a taxa de variação do custo após serem produzidas onças de ouro. Então, 17 reais seria o custo para produzir mais uma onça de ouro (onças).
Passo 4
Bom, no item c, queremos saber se cresce ou decresce a curto e longo prazo.
A verdade é que não temos como calcular, porque não temos a função
Mas vamos pensar juntos nessa situação.
Pra produzir mais, gastamos mais, então o custo tende a crescer. Mas a derivada do custo é diferente. A derivada é a taxa de variação do custo. Em outras palavras, ela é o tanto que o custo aumenta pra produzir mais uma unidade.
E se a gente pensar, quando mais produzimos, melhor podemos alocar os recursos, produzir em lotes, e outras formas de produzir que tornem a produção de uma unidade mais barata. E isso faz sentido tanto a curto quanto longo prazo.
Então vamos assumir que ambas decrescem!
Resposta
é a taxa de variação instantânea do custo por . A unidade é dólares/onça de ouro.
é a taxa de variação do custo após produzidas onças de ouro e 17 dólares é o custo para produzir a unidade de número 801.
Ambas decrescem.