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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.9 - Ex. 30

21-31 Encontre a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função e da derivada.

30 .   g x = 1 x 2

Passo 1

Olá, meu caro estudante. Tudo bem?! Espero que você esteja pronto para mais uma resolução.

Temos aqui que utilizar da definição de derivadas para resolver essa atividade. A definição nos da a equação abaixo para encontrarmos a derivada f ' ( x ) de uma função:

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Já em relação ao domínio de uma função, ele é o conjunto de todos os valores de x que nossa função aceita como entrada.

Passo 2

Colocarei aqui a equação para calcular a derivada de f ( x ) .

f ´ x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Vamos anotar aqui os valores que estão na expressão da derivada!

f x + h = 1 x + h 2 = 1 x 2 + 2 x h + h 2

f x = 1 x 2

Substituindo tudo dentro da derivada, temos:

f ´ x = l i m h → 0 1 x 2 + 2 x h + h 2 - 1 x 2 h

Realizando o m m c do numerador:

f ´ x = l i m h → 0 x 2 - x 2 + 2 x h + h 2 ( x 2 + 2 x h + h 2 ) ( x 2 ) h

Organizando as frações:

f ' x = l i m h ��� 0 x 2 - x 2 - 2 x h - h 2 h x 2 + 2 x h + h 2 x 2

Simplificando termos semelhantes:

f ' ( x ) = l i m h → 0 - 2 x h - h 2 h x 2 + 2 x h + h 2 x 2

Botando o h em evidência, temos:

f ´ x = l i m h → 0 h ( - 2 x - h ) h x 2 + 2 x h + h 2 x 2

Cortando h de cima com h de baixo, temos:

f ´ x = l i m h → 0 - 2 x - h x 2 + 2 x h + h 2 x 2

f ' x = - 2 x x 4

f ' ( x ) = - 2 x 3

Temos então nossa derivada.

Passo 3

O domínio de f ' x e de f ( x ) são todos os Reais exceto o 0 , pois não podemos ter 0   no denominador na expressão de f ' x

D = R - { 0 }

D o m ( f ' ) = R - { 0 }

Resposta

f ´ x = - 2 x 3

D o m ( f ) = R - { 0 }

D o m ( f ' ) = R - { 0 }

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