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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 33

Seja s t = 5 t 2 - 22 t a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, sendo s em metros e t em segundos.

  1. Encontre a velocidade escalar máxima da partícula no intervalo 1 ≤ t ≤ 3 .
  2. No intervalo de (a), quando a partícula está mais longe da origem? Qual é sua posição nesse instante?

Passo 1

  1. Primeiro vamos encontrar a expressão da velocidade, derivando s t :

    2. v t = s ' t = 5 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 - 22 = 10 t - 22

    Agora vamos achar a t :

    a t = v ' t = 10 - 0 = 10

    Sabemos que em a t = 0 temos um valor crítico, que pode ter uma velocidade máxima, entretanto aqui não temos valores onde a aceleração é zero, vamos analisar os valores dos extremos do intervalo então.

    Temos que a velocidade escalar é dada por:

    v t = 10 t - 22

    Vamos então calcular as velocidades escalares nos extremos do intervalo, e comparar qual é a máxima:

    v 1 = 10 ⋅ 1 - 22 = 10 - 22 = - 12 = 12

    v 3 = 10 ⋅ 3 - 22 = 30 - 22 = 8 = 8

    Assim a velocidade escalar máxima no intervalo 1 ≤ t ≤ 3 é de 12 m/s.

    Passo 2

  2. Para saber quando a partícula está mais longe da origem vamos determinar valores críticos da posição, vamos ver isso onde v t = 0 :

10 t - 22 = 0 → 10 t = 22 → t = 2,2

Agora vamos achar a posição desse valor crítico junto dos extremos do intervalo, e analisar qual está mais longe da origem:

s 1 = 5 ⋅ 1 2 - 22 ⋅ 1 = 5 - 22 = - 17

s 2,2 = 5 ⋅ 2,2 2 - 22 ⋅ 2,2 = 24,2 - 48,4 = - 24,2

s 3 = 5 ⋅ 3 2 - 22 ⋅ 3 = 45 - 66 = - 21

Pronto, temos então que a partícula está mais longe da origem em t = 2,2 s e está distante - 24,2 m.

Resposta

  1. 12 m/s
  2. t = 2,2 s e - 24,2 m
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