Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.4 - Ex. 22
22. Um tanque esférico de água, com 24 pés de diâmetro, fica no topo de uma torre de pés. O tanque é cheio por uma mangueira presa ao fundo da esfera. Se uma bomba de cavalo – vapor for usada para fornecer água até o tanque, quanto tempo levará para encher o tanque? (1 cavalo – vapor é igual a 550 pés-lb de trabalho por segundo.)
Passo 1
Inicialmente, teremos que pensar sempre em um elemento muito pequeno e da mesma forma que a borda, temos um tanque esférico, então a borda é uma circunferência, então o elementinho será uma circunferência! Admitiremos o solo da torre como ponto .
E a densidade da água será .
Passo 2
Pensando nesse elemento, temos que o seu volume é dado pela área desse elemento multiplicado pela espessura .
Esse é o volume do elementozinho, vamos calcular o peso agora:
Agora pensaremos na distância que esse elementinho iria percorrer até a borda, ora se ele está a uma distância da borda, ele terá que percorrer até a borda:
Agora para aplicarmos a soma de Rienmann, teremos que antes pensar num elementinho muito fininho, ou seja, e pensando em todos os elementos, e o levaremos o elementinho mais fundo de até .
Você deve estar se perguntando, porque seria 84 pés?
Mas vamos pensar, é o solo da torre, é o topo da torre, para acharmos o ponto mais alto da torre temos que somar o diâmetro da esfera, que é pés.
Passo 3
Passaremos esse valor para Joule, sabendo que
Então
Para descobrirmos o tempo, iremos dividir o trabalho total por .
Dividindo achamos que o tempo é aproximadamente: