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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 30

Avalie a integral.

int (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos que verificar se o denominador é redutível. Sendo ele redutível, podemos transforma-lo:

(x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5)/(x^4 + 4 x^2 + 3) = (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 + 1 ))

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

(x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 + 1 )) = (A x + B)/(( x^2 + 3 )) + (C x + D)/(( x^2 + 1 ))

Multiplicando tudo por ( x^2 + 3 ) ( x^2 + 1 ) , temos:

x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5 = ( A x + B ) (x^2 + 1) + ( C x + D ) ( x^2 + 3 )

Resolvendo isso temos que:

x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5 = A x^3 + A x + B x^2 + B + C x^3 + 3 C x + D x^2 + 3 D

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 1

B + D = - 2

A + 3 C = 2

B + 3 D = - 5

Resolvemos então os sistemas, multiplicando por ( - 1 ) uma das equações

- A - C = - 1

A + 3 C = 2

Nessa primeira temos que A = (1)/(2) e C = (1)/(2) . Resolvendo o segundo sistema:

- B - D = 2

B + 3 D = - 5

Os valores são B = - (1)/(2) e D = - (3)/(2) .

Substituimos:

(x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 + 1 )) = ((1)/(2) x - (1)/(2))/(( x^2 + 3 )) + ((1)/(2) x - (3)/(2))/(( x^2 + 1 ))

Tiramos o MMC das equações:

= ((x - 1)/(2))/(( x^2 + 3 )) + ((x - 3)/(2))/(( x^2 + 1 ))

= (x - 1)/(2 ( x^2 + 3 )) + (x - 3)/(2 ( x^2 + 1 ))

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

int (x^3 - 2 x^2 + 2 x - 5)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x = int (x - 1)/(2 ( x^2 + 3 )) d x + int (x - 3)/(2 ( x^2 + 1 )) d x

Separamos as frações em duas, para cada integral:

= (1)/(2) [int (x)/((x^2 + 3)) - (1)/(x^2 + 3) d x] + [(1)/(2) int (x)/((x^2 + 1)) - (3)/(x^2 + 1) d x]

= (1)/(2) [int (x)/((x^2 + 3)) d x - int (1)/((x^2 + 3)) d x] + [(1)/(2) int (x)/((x^2 + 1)) d x - int (3)/(x^2 + 1) d x]

Usamos substituição para a primeira integral u = x^2 + 3 e d u = 2 x d x . Para a terceira, usamos u = x^2 + 1 e d u = 2 x d x fazemos:

= (1)/(2) [(1)/(2) int (1)/(u) d u - int (1)/((x^2 + 3)) d x] + (1)/(2) [(1)/(2) int (1)/(u) d u - 3 int (1)/(x^2 + 1) d x]

Integramos e substituímos o valor de u :

= (1)/(4) ln | u | - (1)/(2) ( (1)/(sqrt(3)) arctan ((x)/(sqrt(3))) ) + (1)/(4) ln |u| - (3)/(2) arctan ( x )

= (1)/(4) ln | x^2 + 3 | - (1)/(2) ( (1)/(sqrt(3)) arctan ((x)/(sqrt(3))) ) + (1)/(4) ln |x^2 + 1| - (3)/(2) arctan ( x )

Fatoramos os termos com raiz no denominador. Lembrando que:

(1)/(sqrt(3)) xx (sqrt(3))/(sqrt(3)) = (sqrt(3))/(3)

Organizamos tudo direitinho e o nosso resultado será:

= (1)/(4) ln | x^2 + 3 | - (1)/(2) ( (sqrt(3))/(3) arctan ((sqrt(3) x)/(3)) ) + (1)/(4) ln |x^2 + 1| - (3)/(2) arctan (x) + C

= (1)/(4) ln | x^2 + 3 | - (1)/(6) sqrt(3) arctan ((sqrt(3) x)/(3)) + (1)/(4) ln |x^2 + 1| - (3)/(2) arctan (x) + C

Prontinho!!

Resposta

(1)/(4) ln | x^2 + 3 | - (1)/(6) sqrt(3) arctan ((sqrt(3) x)/(3)) + (1)/(4) ln |x^2 + 1| - (3)/(2) arctan (x) + C

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