Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 55
Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva e que são paralelas à reta .
Passo 1
Oiii galerinha do RA, bora resolver essa comigo?
Para encontrar as equações das retas tangentes à curva e paralelas à reta , primeiro precisamos entender alguns conceitos-chave:
As retas Tangentes são retas que tocam a curva em apenas um ponto e têm a mesma inclinação que a curva nesse ponto.
A inclinação da reta tangente a uma curva no ponto é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja, .
Duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta
Passo 2
Desejamos encontrar as equações de retas tangentes à curva dada por e paralelas à reta
Primeiro, devemos escrever a equação da reta na forma: , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.
Podemos ver comparando com a equação genérica que
e .
Para que duas retas sejam paralelas, elas deverão possuir o mesmo coeficiente angular. Então, já sabemos que deverá ser .
O coeficiente angular da reta tangente à curva é obtido pela derivação da função da curva, assim:
em que
é a abcissa do ponto de tangência.
Passo 3
Logo, tem-se que , daí temos a equação para resolver em :
que são valores de pertencentes a essas retas paralelas e que tangenciam a curva nesses pontos.
Então, para temos que
.
Assim, um ponto é , já para temos
e, assim, temos o outro ponto de tangência .
Logo, as duas retas paralelas podem ser escritas na forma .
Então, para a reta tangente no ponto temos e para a reta tangente no ponto temos:
Resposta
Reta tangente no ponto
Reta tangente no ponto temos: