Enunciado

23. A figura em anexo mostra os gráfico das equações y = 1 + 2 sin ⁡ x e y = 2 sin ⁡ x / 2 + 2 cos ⁡ x / 2   para - 2 π ≤ x ≤ 2 π . Sem utilizar um recurso computacional, identifique cada uma das duas curvas pela sua equação e encontre as coordenadas dos pontos A ,   B ,   C e D indicados. Explique seu raciocínio.

Passo 1

Belezoca galera, o gráfico que ele deu pra gente foi

E as funções são y = 1 + 2 sin ⁡ x e y = 2 sin ⁡ x / 2 + 2 cos ⁡ x / 2 .

Passo 2

Para x = - 2 π , temos que a primeira equação vale;

y = 1 + 2 sin ⁡ - 2 π

y = 1 - 2 sin ⁡ 2 π

y = 1 - 0 = 1

Portanto, só temos um função que é positiva em x = - 2 π de acordo com o gráfico, e ela é y = 1 + 2 sin ⁡ x , a curva de um azul mais escuro.

Passo 3

Agora, os pontos A ,   B ,   C   e   D , são os pontos de interseção entre as curvas:

1 + 2 sin ⁡ x = 2 sin ⁡ x / 2 + 2 cos ⁡ x / 2

Resolvendo essa equação, chegamos que a solução geral é:

x = π 3 + 4 π n ,     n ∈ Z

E como nosso intervalo é - 2 π ≤ x ≤ 2 π , temos os pontos:

A : - 2 3 π ,   1 - 3 ,     B : 1 3 π ,   1 + 3 ,     C : 2 3 π ,   1 + 3 ,     D : 5 3 π ,   1 - 3

Resposta

A : - 2 3 π ,   1 - 3 ,     B : 1 3 π ,   1 + 3 ,     C : 2 3 π ,   1 + 3 ,     D : 5 3 π ,   1 - 3

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Encontre todos os valores de t no intervalo [ 0,2 π ) em que a equação s e n t = - 1 está satisfeita.
Encontre todos os valores de t no intervalo [ 0,2 π ) em que a equação c o s e c t = 1 está satisfeita.
Use a periodicidade das funções tangente e cotangente, bem como os valores do t g t , e c o t g ( t ) , quando 0 ≤ tπ , para determinar o valor exato da função c o t g - 9 2 π .
Encontre todos os valores de t no intervalo [ 0,2 π ) em que a equação s e n t = 0 está satisfeita.
Encontre todos os valores de t no intervalo [ 0,2 π ) em que a equação s e n t = 1 2 está satisfeita.