Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 23d

23.Calcular a derivada y ´ = d y d x das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t , y ´ está definida?

d )

x = cos 3 ⁡ t y = sin 3 ⁡ t ,   t ∈ - π 2 , 0      

Passo 1

Temos uma função definida implicitamente, ela não tem bem a forma convencional, mas não é nada difícil! Apenas requer atenção e que você lembre da fórmula da derivada de função implícita que é essa aqui:

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t )

Passo 2

y ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

y ' = sin 3 ⁡ t '

Para fazermos essa derivada usaremos a regra da cadeia

u v t = sin 3 ⁡ t

u t = t 3                   u ' t = 3 t 2

v t = sin ⁡ t                   v ' t = cos ⁡ t

Agora vamos derivar

y ' = u v t ' = u ' v t v ' ( t )

y ' = u v t ' = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t

x ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

x ' = cos 3 ⁡ t '

Para fazermos essa derivada usaremos a mesma regra de cima, a regra de cadeia!!!

u v t = cos 3 ⁡ t

u t = t 3                   u ' t = 3 t 2

v t = cos ⁡ t                   v ' t = - sin ⁡ t

Agora vamos derivar

x ' = u v t ' = u ' v t v ' ( t )

x ' = u v t ' = 3 cos 2 ⁡ t - sin ⁡ t = - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t

Passo 3

Agora vamos voltar para a fórmula que te falei lá no passo 1!!

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t ) = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t

Cortando o produto 3 sin ⁡ t cos ⁡ t no denominador e no numerador, temos que:

y ' = - sin ⁡ t cos ⁡ t = - tan ⁡ t

Para quais valores que a tangente está definida no intervalo - π 2 , 0 ?

Ora para todos, pois o cos ⁡ t nunca se anula nesse intervalo e outra coisa, cortamos o produto 3 sin ⁡ t cos ⁡ t , pois nesse intervalo, não há valores que anulam nem o sin ⁡ t e nem o cos ⁡ t .

Resposta

y ' = - tan ⁡ t         - π 2 , 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d