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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 23f

23.Calcular a derivada y ´ = d y d x das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t , y ´ está definida?

d )

x = 8 cos 3 ⁡ t y = 8 sin 3 ⁡ t ,   t ∈ 0 , π      

Passo 1

Temos uma função definida implicitamente, ela não tem bem a forma convencional, mas não é nada difícil! Apenas requer atenção e que você lembre da fórmula da derivada de função implícita que é essa aqui:

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t )

Passo 2

y ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

y ' = sin 3 ⁡ t '

Para fazermos essa derivada usaremos a regra da cadeia

u v t = sin 3 ⁡ t

u t = t 3                   u ' t = 3 t 2

v t = sin ⁡ t                   v ' t = cos ⁡ t

Agora vamos derivar

y ' = u v t ' = u ' v t v ' ( t )

y ' = u v t ' = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t

x ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

x ' = cos 3 ⁡ t '

Para fazermos essa derivada usaremos a mesma regra de cima, a regra de cadeia!!!

u v t = cos 3 ⁡ t

u t = t 3                   u ' t = 3 t 2

v t = cos ⁡ t                   v ' t = - sin ⁡ t

Agora vamos derivar

x ' = u v t ' = u ' v t v ' ( t )

x ' = u v t ' = 3 cos 2 ⁡ t - sin ⁡ t = - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t

Passo 3

Agora vamos voltar para a fórmula que te falei lá no passo 1!!

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t ) = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t

Cortando o produto 3 sin ⁡ t cos ⁡ t no denominador e no numerador, para isso o sin ⁡ t e cos ⁡ t não podem ser negativos, ou seja, dentro do intervalo   0 , π t não pode ser 0 , π 2 , π .

y ' = - sin ⁡ t cos ⁡ t = - tan ⁡ t

Para quais valores que a tangente está definida no intervalo 0 , π ?

Ora para todos, exceto aquelas que o cos ⁡ t seja negativo, ou seja reais menos o   π 2 . E juntando com a restrição para fazermos o corte de 3 sin ⁡ t cos ⁡ t , o intervalo será escrito assim:

0 , π - π 2

Ou

0 , π 2 ∪ π 2 , π

Resposta

y ' = - tan ⁡ t         0 , π 2 ∪ π 2 , π

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