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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 24

24) Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x que é perpendicular à reta 2 x + 18 y - 9 = 0 .

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = x 3 - 3 x , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 3 - 3 x 1 + ∆ x e

f x 1 = x 1 3 - 3 x 1

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 3 - 3 x 1 + ∆ x - x 1 3 - 3 x 1 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = 3 x 2 - 3

Passo 2

Agora é preciso lembrar que retas perpendiculares possuem coeficientes angulares inversos e opostos. Então descobrimos o coeficiente angular da reta fornecida no enunciado colocando-a no formato de equação reduzida.

2 x + 18 y - 9 = 0 .

y = - 2 x + 9 18

O seu coeficiente angular é   m = - 1 9

Logo o da reta tangente a curva será: m = 9

Passo 3

Agora igualamos os coeficientes angulares e descobrimos o ponto de tangência:

3 x 2 - 3 = 9

x 1 = ± 2

Substituindo na função descobrimos o valor de y.

y = x 3 - 3 x

y = 2 3 - 3.2

y = ± 2

Portanto:

( 2,2 ) e ( - 2 , - 2 )

Passo 4

Agora para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto dado, utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

1º ponto)

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y - 2 = 9 . x - 2

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

- 9 x + y + 16 = 0

2º ponto)

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y + 2 = 9 . x + 2

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

- 9 x + y - 16 = 0

Resposta

Equações das retas tangentes:

- 9 x + y + 16 = 0

- 9 x + y - 16 = 0

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