Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 36
Encontre equações para areta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:
Passo 1
Falaiii meus amores, bora lá?
No cálculo diferencial, a derivada de uma função descreve a taxa de variação instantânea da função em relação à sua variável independente.
Para uma função a derivada nos dá a inclinação da tangente à curva da função em qualquer ponto .
A reta tangente a uma curva em um determinado ponto é uma linha reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto.
A reta normal a uma curva em um determinado ponto é uma linha reta que é perpendicular à tangente naquele ponto.
Agora, vamos resolver a questão:
Passo 2
Como queremos encontrar as equações das retas tangente e normal no ponto da curva dada por:
Vamos encontrar primeiro a equação da tangente. Qualquer reta pode ser dada pela equação na forma
e sabemos também que .
Então, derivando teremos:
.
Assim, como o ponto de tangência é
então:
Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto será dada por:
conforme a equação .
Passo 3
Sabe-se que da geometria analítica: (o coeficiente angular da reta normal é igual ao negativo do inverso do coeficiente angular da reta tangente).
Então, a equação da reta normal à curva no ponto , conforme a equação de uma reta dada por é:
Pois