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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 24

24- Circunferência de um círculo Estabeleça uma integral para determinar a circunferência de um círculo de raio r centrado na origem. Você aprenderá a calcular a integral na Seção 8.3

Passo 1

A circunferência tem uma equação característica:

x 2 + y 2 = r 2

Isolando y :

y = r 2 - x 2

Passo 2

Agora iremos encontrar o comprimento formado pelo arco que têm a seguinte equação:

L = ∫ 1 + d y d x 2   d x

Fazendo a derivada em relação a x do y que acabamos de encontrar teremos:

d y d x = - 2 x 2 r 2 - x 2 = x r 2 - x 2

Elevando ao quadrado:

d y d x 2 = x 2 r 2 - x 2

Passo 3

O nosso intervalo depende da fatia que a gente quer pegar da circunferência, sabendo que apenas conseguimos andar na direção de um eixo, se pegarmos de 0 a r nós estaremos pegando apenas 1 / 4 do círculo mas se queremos pegar de - r para r , então nós estaremos pegando metade de um círculo. Logo se pegarmos de 0 a r e multiplica-mos por 4 para saber a área do círculo todo, nós teremos:

L = 4 ∫ 0 r 1 + x 2 r 2 - x 2 d x = 4 ∫ 0 r r 2 r 2 - x 2 d x = 4 r ∫ 0 r d x r 2 - x 2

Resposta

4 r ∫ 0 r d x r 2 - x 2

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