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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 31

Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = e t cos ⁡ t ,       y = e t s e n   t ,     ( 0 ≤ t ≤ π 2 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t =   e t cos ⁡ t - e t s e n   t    

d y d t = e t s e n   t + e t cos ⁡ t

Aí a gente joga na fórmula:

= ∫ 0 π 2 e t cos ⁡ t - e t s e n   t 2 + e t s e n   t + e t cos ⁡ t 2   d t

= ∫ 0 π 2 e 2 t cos 2 ⁡ t - 2 e 2 t cos ⁡ t s e n   t + e 2 t s e n 2 t + e 2 t s e n 2 t + 2 e 2 t cos ⁡ t   s e n   t + e 2 t cos 2 ⁡ t   d t

= ∫ 0 π 2 2 e 2 t cos 2 ⁡ t + 2   e 2 t s e n 2 t   d t

= ∫ 0 π 2 2 e 2 t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t   d t

E pela identidade trigonométrica fundamental, a gente sabe que:

= ∫ 0 π / 2 2 e 2 t ( 1 )   d t

= ∫ 0 π 2 2   e t   d t

= 2 e t 0 π 2  

= 2 e π 2 - e 0

= 2   e π 2 - 1

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

2   e π 2 - 1

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