Enunciado

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado da carga, a linha central da viga sofre uma deflexão, que é descrita por:

y =   - 1,67 × 10 - 8 x 4 - 2 L x 3 + L 2 x 2

( 0 ≤ x ≤ 192 )

onde L = 192   p o l é o comprimento da viga sem carga, x é a distância horizontal ao longo da viga, medida em polegadas, a partir do extremo esquerdo, e y é a deflexão da linha central em polegadas.

  1. Faça o gráfico de y versus x com 0 ≤ x ≤ 192 .
  2. Encontre a deflação máxima da linha central.
  3. Use um CAS ou uma calculadora com integração numérica para encontrar o comprimento da linha central da viga carregada. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

Passo 1

E aí, tudo joia?

Dá uma olhada no gráfico:

Esse aí é o gráfico, onde o eixo x é a distância horizontal e y é a deflação, no intervalo de [ 0,192 ] .

Passo 2

b) Pelo gráfico e usando a calculadora do Desmos, vemos que a derivada é zero no ponto x = 96 , esse é o ponto mínimo do gráfico, ou seja, onde ocorre a maior deflação.

A deflação máxima então é:

- 1,4184

Passo 3

c) Pra calcular o comprimento da linha, vamos calcular a integral:

Usando o próprio Desmos pra calcular, com suas casas decimais temos que o comprimento é:

L ≈ 192,03   p o l

E prontinho! 😉

Resposta

  1. Gráfico.
  2. - 1,4184
  3. L ≈ 192,03   p o l
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Na nossa definição de comprimento de arco do gráfico de y = f ( x ) , é necessário que f ' ( x ) seja uma função contínua para que f satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio (4.8.2)
A aproximação L ≈∑ k = 1 n 1 + f ' x k * 2Δ x k do comprimento de arco é exata quando f for uma função linear de x .
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. y = ( x 6 + 8 ) / 16 x 2 ,d ex = 2a t éx = 3 é
Expresse o comprimento de arco exato da curva acima do intervalo dado como uma integral que tenha sido simplificada para eliminar o radical; em seguida, calcule a integral usando um CAS. y = ln ⁡ ( se
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. x = 1 8 y 4 + 1 4 y - 2d ey = 1a t éy = 4 é