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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 21

Use o resultado do Exercício 20 para mostrar que o comprimento de arco L de y = sec ⁡ x acima do intervalo 0 ≤ x ≤ π 3 satisfaz:

π 3 ≤ L ≤ π 3 13

Passo 1

E aí, tudo joia?

O resultado do exercício 20 é:

b - a 1 + m 2 ≤ L ≤ b - a 1 + M 2

Trazendo pro nosso caso, temos que:

π 3 1 + m 2 ≤ L ≤ π 3 1 + M 2

Pra isso ser compatível com o que queremos, precisamos que:

1 + m 2 = 1

1 + M 2 = 13

Desde que m   e   M sejam tais que:

0 ≤ m ≤ f ' x ≤ M

Passo 2

Vamos derivar a função então:

f ' x = sec ⁡ x   t g   x

Voltando as nossas relações...

1 + m 2 = 1

1 + m 2 = 1

m = 0

1 + M 2 = 13

1 + M 2 = 13

M 2 = 12

M = 12

M = 2 3

Veja que no intervalo dado, nossos limites para a derivada são:

f ' 0 = sec ⁡ 0   t g   0 = 0

f ' π 3 = sec ⁡ π 3   t g   π 3 = 2 3

Passo 3

Ou sejaaa:

0 ≤ f ' x ≤ 2 3

Que como vimos ali em cima, é o mesmo que:

m ≤ f ' x ≤ M

Sendo assim, provamos que tá certinho e que:

π 3 ≤ L ≤ π 3 13

E acabamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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