Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 19

Siga as instruções do Exercício 17 para os segmentos de curva y = t g   x   d e   x = 0   a t é   x = π 3 e para o segmento y = a r c t g   x de x = 0 até x = 3 .

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos começar dando uma olhada nos gráficos:

Belezinha! Aqui tá parecendo muito que são iguais né? Vamos ver isso...

Passo 2

Vamos montar as integrais de comprimento das duas. A primeira fica:

y ' = sec 2 ⁡ x

L 1 = ∫ 0 π 3 1 + sec 2 ⁡ x 2   d x

Beleza, vamos ver a segunda agora...

Passo 3

A segunda é:

y ' = 1 1 + x 2

∫ 0 3 1 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + x 2 2 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + x 2 2 + 1 1 + x 2   d x

Passo 4

Vamos agora mostrar que as duas integrais são iguais:

Vamos fazer na primeira a substituição:

t = t g   x

Teremos: d t = sec 2 ⁡ x   d x → d t sec 2 ⁡ x = d x .

E aí os limites de integração viram: t g   0 = 0     e   t g π 3 = 3 .

E como t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x , teremos a integral:

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2   d t 1 + t 2

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2   d t

Que é igualzinha a outra integral, só mudando a variável, ou seja, são iguais!

Passo 5

Vamos calcular o comprimento agora usando um programinha top pra calcular essa integral:

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2   d t ≈ 2,057

E pronto!

Resposta

L ≈ 2,057

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Achar o comprimento da circunferência{[[x = a cos t],[y = a s e n t]]) , t ϵ [ 0,2 pi ]
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. y = 1 3 y 2 + 2 3 2 ,d ey = 0a t éy = 1 é
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. y = x 2 3 ,d ex = 1a t éx = 8 é
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. y = 3 x 3 2 - 1 ,d ex = 0a t éx = 1 é
Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta de y = 5 x entre 0,0e( 1,5 ) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado usando:Fórmula (4)Fórmula (5)