Siga as instruções do Exercício 17 para os segmentos de curva y = tg(x) para x = 0 até x = π/3 e para o segmento y = arcotg x de x = 0 até x = raiz(3) .

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos começar dando uma olhada nos gráficos:

Belezinha! Aqui tá parecendo muito que são iguais né? Vamos ver isso...

Passo 2

Vamos montar as integrais de comprimento das duas. A primeira fica:

y ' = sec 2 ⁡ x

L 1 = ∫ 0 π 3 1 + sec 2 ⁡ x 2   d x

Beleza, vamos ver a segunda agora...

Passo 3

A segunda é:

y ' = 1 1 + x 2

∫ 0 3 1 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + x 2 2 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + x 2 2 + 1 1 + x 2   d x

Passo 4

Vamos agora mostrar que as duas integrais são iguais:

Vamos fazer na primeira a substituição:

t = t g   x

Teremos: d t = sec 2 ⁡ x   d x → d t sec 2 ⁡ x = d x .

E aí os limites de integração viram: t g   0 = 0     e   t g π 3 = 3 .

E como t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x , teremos a integral:

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2   d t 1 + t 2

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2   d t

Que é igualzinha a outra integral, só mudando a variável, ou seja, são iguais!

Passo 5

Vamos calcular o comprimento agora usando um programinha top pra calcular essa integral:

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2   d t ≈ 2,057

E pronto!

Resposta

L ≈ 2,057

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