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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 24

24. Deduza uma expressão análoga à Eq. (22) para o erro de truncamento local para a fórmula de Euler inversa.

Sugestão: Construa uma aproximação de Taylor apropriada de ϕ ( t ) em torno de t   =   t n + 1

Passo 1

A expressão que encontramos no capítulo para a equação de Euler inversa foi essa daqui:

y n + 1 = y n + h f t n + 1 , y n + 1

Vamos fazer de forma análogo ao que Boyce fez no capítulo para provar quem era Erro local da equação de Euler normal. Ou seja, primeiro vamos supor uma solução ϕ t analítica para essa equação tal que...

ϕ ' t = f t ,   ϕ t

Supondo que essa solução tenha uma expansão em série de Taylor...

ϕ t + h = ϕ t + ϕ ' t h + 1 2 ϕ ' ' t h 2

Ou, considerando t como t n ...

ϕ t n = ϕ t n + ϕ ' t n h + 1 2 ϕ ' ' t n h 2

Poxa, sabemos que h é o acréscimo em t n para virar t n + 1 : t n + 1 - t n = h . Então...

ϕ t n + 1 = ϕ t n + ϕ ' t n h + 1 2 ϕ ' ' t n h 2

Considerando um t - n tal que... t n ≤ t - n ≤ t n + 1 , uma boa aproximação para essa equação é...

ϕ t n + 1 = ϕ t n + h f t n , y n + 1 2 ϕ ' ' t - n h 2       ( I )

Agora vamos considerar a solução numérica por Euler inversa:

y n + 1 = y n + h f t n + 1 , y n + 1

Como estamos avaliando o erro local, uma boa aproximação aqui é considerar o y n como sendo ϕ t n , ou seja, no t n a solução analítica e a solução numérica são iguais para o valor anterior e assim a gente isola o Erro de y n + 1 para ϕ t n + 1 . Então...

y n + 1 * = ϕ t n + h f t n + 1 , y n + 1             ( I I )

O Erro local entre eles então será dado por...

E = ϕ t n + 1 - y n + 1 *     →

Subtraindo a equação I I de I ...

E = h f t n , y n + 1 2 ϕ ' ' t - n h 2 - h f t n + 1 , y n + 1   →

E = h f t n , y n - f t n + 1 , y n + 1 + 1 2 ϕ ' ' t - n h 2  

Então, o ERRO será proporcional a h e a h 2 :

E = h k 1 + 1 2 h 2 k 2

Onde k 1 e k 2 são as constantes de proporcionalidade e que dependem das derivadas da solução analítica .

Resposta

E = h k 1 + 1 2 h 2 k 2

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