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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 22

22. A fórmula de Euler modificada parao problema de valor inicial y '   =   f ( t , y ) ,     y ( t 0 )   =   y 0 , é dada por

y n + 1 = y n + h f [ t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f ( t n , y n ) ]  

Seguindo o procedimento esquematizado no Problema14, mostre queo erro de truncamento local nafórmula de Euler modificada é proporcional a h 3 .

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! Assumindo que a solução dessa equação tenha derivadas contínuas pelo menos até a terceira ordem...

E também que ϕ t n = y n , ficamos então, com...

ϕ t n + 1 = ϕ t n + ϕ ' t n h + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 !

Onde,

t n < t - n < t n + 1 .

a) Bom! O nosso erro de truncamento local é dado por...

e n + 1 = ϕ t n + 1 - y n + 1

Que é nada mais nada menos do que a diferença entre o valor exato menos o valor aproximado através do método numérico...

Voltando ao que interessa! A fórmula de E u l e r modificada é...

y n + 1 = y n + h f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n  

Feito isso, e supondo que ϕ t n = y n , que é o que normalmente acontece; principalmente na condição inicial... É importante destacar que:

ϕ ' t n = f t n , ϕ t n = f t n , y n

Logo, temos que...

e n + 1 = ϕ t n + 1 - y n + 1

e n + 1 = ϕ t n + h f t n , y n + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - y n - h f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n

e n + 1 = h f t n , y n + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n

Pronto! Essa primeira parte de obter o erro de truncamento já foi!

Passo 2

b) Pra essa letra, vamos começar logo como faz o problema 14 , que é o que nós estamos trabalhando. Bora pra segunda derivada de ϕ t ...

ϕ ' ' t = f t t , ϕ t + f y t , ϕ t ϕ ' t

Além disso,

f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n = f t n , y n + f t t n , y n h 2 + f y t n , y n k + 1 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

Sendo que...

k = 1 2 h f t n , y n

E também,

t n < ξ < t n + h 2

  y n < η < y n + k

Desse modo, nosso erro vai ficar com a seguinte cara...

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

É importante observar aí que cada termo entre colchetes tem um fator de h 2 . Portanto, o erro de truncamento local é proporcional a h 3 .

Passo 3

c) Pra finalizar... No caso de estarmos trabalhando com uma função f ( t , y ) linear, então temos que...

f t t = 0

f t y = 0

f y y = 0

Desse modo, o nosso erro vai ficar assim...

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 ⋅ 0 + h k ⋅ 0 + k 2 ⋅ 0 t = ξ , y = η  

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 !

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 6

E pronto! Finalizamos aqui!

Resposta

a)

e n + 1 = h f t n , y n + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n

b)

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

c)

F u n ç ã o   f t , y   l i n e a r   - > e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 6

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