Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.6 - Ex. 25
25- a) Mostre que a equação polar de uma elipse com diretriz pode ser escrita na forma:
b) Encontre uma equação polar aproximada para a ��rbita elíptica da Terra ao redor do Sol (em um foco) dado que a excentricidade é cerca de e o comprimento do eixo principal é cerca de .
Passo 1
Fala galerinha. De boa por aí, partiu resolver uma questãozinha? Bora!
O objetivo da questão é mostrar que a equação polar de uma elipse com uma diretriz pode ser expressa de forma específica e, em seguida, aplicar esse conhecimento para encontrar uma equação polar aproximada da órbita elíptica da Terra ao redor do Sol.
E como podemos resolver isso? Se liga nos passos!
- Começamos com a diretriz da elipse, ela é a razão entre a distância a um foco e a distância a uma diretriz é igual à excentricidade .
- Rearranjamos essa relação para isolar , que representa a distância do ponto ao foco.
- Introduzimos o semi-eixo maior e a excentricidade na fórmula.
Para encontrarmos a letra , temos que
- Usar a excentricidade encontrada para encontrar o valor do comprimento do eixo maior da órbita terrestre.
- Inserimos os dados na equação polar e simplificamos para obter a forma aproximada da equação da órbita da Terra.
Agora podemos começar!
Passo 2
Normalmente quando temos uma equação com diretriz em negativo dessa forma, nós temos uma equação polar com a cara igual a:
Vamos rearranjar a equação multiplicando ambos os lados por )
Simplificando os termos
Aplicando a multiplicação “chuveirinho”
Isolando o termo
Passo 3
Sabemos que
Onde é o semi-eixo maior. Substituindo então
Simplificando o
Multiplicando, temos a equação POLAR.
Passo 4
Da letra a questão nos fornece dados do eixo maior da elipse que vale e da excentricidade , que serão iguais a:
logo
e
Substituindo esses dados na equação polar teremos: