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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 50

Encontre uma equação polar na forma r cos ⁡ θ - θ 0 = r 0 para cada uma das retas nos Exercícios 49-52.

3 x - y = 1

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, para encontrar a equação polar da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Simbora?

Passo 2

Vamos começar dividindo toda equação por 2, para podermos encontrar alguns termos conhecidos:

3 2 x - 1 2 y = 1 2

Usando as relações citadas no passo 1, temos:

r cos ⁡ θ ∙ 3 2 - r sen ⁡ θ ∙ 1 2 = 1 2

Vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y - sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y = cos ⁡ x + y

Para isso, basta dizermos que 3 2 = cos ⁡ π 6 no primeiro termo e 1 2 = s en ⁡ π 6 no segundo termo, logo:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 6 - r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 6 = 1 2

Colocando r em evidência:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 6 - sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 6 = 1 2

r cos ⁡ θ + π 6 = 1 2

Encontramos nossa equação da reta, em coordenadas polares.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

r cos ⁡ θ + π 6 = 1 2 .

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